[論文レビュー] Continuity of the Oseledets Decomposition

Pedro Duarte, Silvius Klein|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、線形コサイクルにおけるOseledetsのフィルトレーションおよび分解の連続性を、一様な大偏差推定に基づく帰納的スキーム（Avalanche Principleを用いて）で確立する。これは、Avalanche Principleを用いたMultiplicative Ergodic Theoremの新たな証明を提供し、適切な可積分性および偏差条件のもとで、リーマン・サブスペースのコサイクル関数としての定量的連続性バインディングを導出する。

ABSTRACT

We consider an abstract space of measurable linear cocycles and we assume the availability in this space of some appropriate uniform large deviation type estimates. Under these hypotheses we establish the continuity of the Oseledets filtration and decomposition as functions of the cocycle. The same assumptions lead in [6] to a general continuity theorem for the Lyapunov exponents. This result and other technical estimates derived in [6], along with the inductive scheme based on the Avalanche Principle, are the main ingredients of the arguments in this paper. We also give a new proof of the classical Multiplicative Ergodic Theorem of V. Oseledets, using the Avalanche Principle (AP). This is a draft of a chapter in our forthcoming research monograph [6].

研究の動機と目的

• 一様な大偏差推定のもとで、線形コサイクルの関数としてのOseledetsフィルトレーションおよび分解の連続性を確立すること。
• 可逆性の仮定を必要としないAvalanche Principleを用いたMultiplicative Ergodic Theoremの新たな証明を提供すること。
• 有限スケールのフィルトレーションがOseledetsフィルトレーションに収束するレートに関する定量的推定を導出すること。
• Oseledets分解の連続性の文脈における部分空間の交差のリプシッツ的挙動を分析すること。
• 次元の変化を考慮した、適切な可測コサイクルの位相空間における連続性結果の定式化と証明。

提案手法

• Avalanche Principleを用いて、行列積の最も拡張する特異方向の距離を推定し、有限スケールのフィルトレーションに対する帰納的制御を可能にする。
• 一様な大偏差型（LDT）推定を適用して、小さな例外集合を除き、Avalanche Principleの仮定の妥当性を保証する。
• A^{(n)}(x) の特異値分解に基づくフィルトレーションのμ-ほとんど everywhere での極限としてOseledetsフィルトレーションを構成する。
• コサイクル A および随伴コサイクル A^* のフィルトレーションの成分とその直交補空間の交差としてOseledets分解を定義する。
• 有限スケールの連続性を定量化するため、d(E_{\bullet}^{(n)}(B_1)(x), E_{\bullet}^{(n)}(B_2)(x)) の距離を用い、角度距離の推定から境界を導出する。
• 部分空間の交差安定性を制御するため、推定式 d(F_1 \sqcap F_1', F_2 \sqcap F_2') \lesssim \max\{1/\theta_{\sqcap}(F_1,F_1'), 1/\theta_{\sqcap}(F_2,F_2')\} \cdot (d_\tau(F_1,F_2) + d_{\tau^\perp}(F_1',F_2')) を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、適切な位相におけるコサイクルの関数としてのOseledetsフィルトレーションは連続となるか？
• RQ2 可逆性の仮定を課さずに、Avalanche Principleを用いてMultiplicative Ergodic Theoremを再証明できるか？
• RQ3 一様LDT推定のもとで、有限スケールの特異値分解がOseledetsフィルトレーションにどの程度のレートで収束するか？
• RQ4 コサイクルの小さな摂動に対してOseledets分解はどのように挙動するか、連続性のモジュラスは何か？
• RQ5 一様LDT推定は、リーマンサブスペースおよびその交差の連続性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• Oseledetsフィルトレーションは、一様な大偏差推定を満たす任意のコサイクルの近傍において、コサイクルの関数として連続である。
• Oseledets分解は、可測コサイクルの空間全体で連続であり、連続性モジュラスは $\omega(h) = [\underline{\iota}(c \log \frac{1}{h})]^{1/2}$ である。
• 同じ仮定のもとで、有限スケールの分解 $E_{\cdot}^{(n)}(B)(x)$ は、μ-ほとんど everywhere で Oseledets分解 $E_{\cdot}^{\tau}(B)(x)$ に収束する。
• 有限スケールの連続性は指数的レートを示す：$\text{dist}(B_1,B_2) < e^{-C_1 n}$ ならば、測度 $< \iota_n$ の集合を除き、$d(E_{\cdot}^{(n)}(B_1)(x), E_{\cdot}^{(n)}(B_2)(x)) < e^{-C_3 n}$ が成り立つ。
• 写像 $B \mapsto E_{\cdot}^{\tau}(B)$ は、ある $\alpha > 0$ に対して、点ごとの推定式 $\mu\{x : d(E_{\cdot}^{\tau}(B_1), E_{\cdot}^{\tau}(B_2)) > \text{dist}(B_1,B_2)^\alpha\} < \omega(\text{dist}(B_1,B_2))$ を満たす。
• Avalanche Principleを用いた可逆性の仮定を必要としないMultiplicative Ergodic Theoremの新たな証明が確立され、有限スケールSVDフィルトレーションの収束に基づく。