[論文レビュー] Continuous Abstraction of Nonlinear Systems using Sum-of-Squares Programming

Stanley W. Smith, Yin, He+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2019

Advanced Control Systems Optimization参考文献 31被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、非線形制御アフィン系の連続的状態抽象化における低レベルコントローラーの設計と証明可能な誤差境界の計算を目的として、二乗和（SOS）プログラミングのアプローチを提案する。システムの動的特性を多項式で近似し、抽象状態および入力を半代数的集合に制限することで、コントローラー設計と誤差境界の計算をSOS最適化問題として定式化し、不変性条件や増分的消費性条件を必要としないスケーラブルで検証可能な制御設計を可能にする。主な貢献は、高次元非線形系に対して計算的に実行可能で、検証を保つ抽象化フレームワークの構築である。

ABSTRACT

We present a control design procedure for nonlinear control systems in which we represent a potentially high dimensional system with a low dimensional continuous-state abstraction. The abstraction generates a reference which the original system follows with a low level controller. We propose sum-of-squares programming as a tool to design this controller and to provide an upper bound on the relative error between the system and its abstraction. We compute the low level controller simultaneously with a simulation function that gives the boundedness guarantee for the relative error.

研究の動機と目的

• 高次元の情報物理系における形式的手法のスケーラビリティの限界を克服し、低次元の連続的状態抽象化を可能にする。
• 不変性条件や増分的消費性条件を必要とせず、元のシステムとその抽象化との間の誤差が有界であることを保証する低レベルコントローラーを設計する。
• SOS最適化を用いて、実際のシステムとその抽象化との間の誤差境界を証明可能に計算する。
• 制約集合の系統的で反復的な精錬手順を提供し、望ましい誤差境界を達成する。
• プラトーニングや二重倒立振子制御を含む非線形例を通じて、広範な適用可能性を示す。

提案手法

• 非線形制御アフィン系とその低次元抽象化を多項式動的特性を用いて定式化する。
• 実システムが追跡する基準軌道を生成するための多様体写像 π(ˆx) を定義する。
• 抽象化からの逸脱をモデル化するための誤差動的システム ˙e = fe(e, ˆx, ˆu) + ge(e, ˆx)κ(e, ˆx, ˆu) を構築する。
• SOS最適化を用いて、同時に低レベルコントローラー κ と誤差の有界性を証明するリャプノフ様シミュレーション関数 V を合成する。
• 抽象状態 ˆX および入力 ˆU に半代数的制約を課し、制御入力制限 U をSOS制約として統合する。
• 最適化問題を、誤差境界として機能する部分集合 ΩVγ の体積を最小化する形に定式化し、前向き不変性およびコントローラーの実行可能性を保証するSOS条件を満たすようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不変性や増分的消費性を仮定せず、SOSプログラミングを用いて非線形系の低レベルコントローラーを設計し、誤差境界を計算できるか？
• RQ2 初期の誤差境界が大きすぎる場合、どのようにして制約集合を系統的に精錬して望ましい誤差境界を達成できるか？
• RQ3 提案されたSOSベースの抽象化フレームワークは、プラトーニングや二重倒立振子制御といった実用的非線形制御問題に適用可能か？
• RQ4 現実的な非線形系に対してSOS最適化問題を解く計算的妥当性は何か？
• RQ5 抽象化多様体および多項式近似の選択が、誤差境界のタイトさにどのように影響するか？

主な発見

• 2台の車両によるプラトーニング例において、本手法は低レベルコントローラーと証明可能な誤差境界を効果的に計算し、指定されたSTL仕様内でのギャップ拡大動作を達成した。
• プラトーニング例では、標準的なワークステーション上で約15分でSOS最適化が解かれた。誤差境界は部分集合 ΩVγ 内に含まれていた。
• 二重倒立振子例では、実システムの位相図と抽象化との間の誤差が小さく保たれ、制御入力軌道も抽象コントローラーをよく追跡した。
• 二重倒立振子例は5分未満で解かれたことから、最大8状態のシステムに対しても本手法の計算効率が示された。
• 反復的精錬手順により、抽象状態および入力集合の半代数的制約を厳密にすることで、誤差境界が著しく縮小された。
• 本手法は、ゼロ誤差多様体の不変性や増分的消費性といった制限的な仮定を回避しており、より広範な非線形系クラスへの適用可能性を拡大している。