[論文レビュー] Continuous-state branching processes with competition: duality and reflection at Infinity

Clément Foucart|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2017

Stochastic processes and statistical mechanicsMathematics参考文献 31被引用数 18

ひとこと要約

本稿は二次的競争を伴う連続状態ブランチ過程（CSBP）を研究し、無限大が到達可能または入口境界であるための必要十分条件を確立している。ロジスティックCSBPと一般化されたフェラー拡散過程の間で新規な双対性を導入し、無限大が到達可能な場合、特定のパrameter条件下で無限大で反射することができることを証明している。また、グレイの条件が成り立つ場合、0での確実な絶滅が成立する。

ABSTRACT

The boundary behavior of continuous-state branching processes with quadratic competition is studied in whole generality. We first observe that despite competition, explosion can occur for certain branching mechanisms. We obtain a necessary and sufficient condition for $\\infty$ to be accessible in terms of the branching mechanism and the competition parameter $c>0$. We show that when $\\infty$ is inaccessible, it is always an entrance boundary. In the case where $\\infty$ is accessible, explosion can occur either by a single jump to $\\infty$ (the process at $z$ jumps to $\\infty$ at rate $\\lambda z$ for some $\\lambda>0$) or by accumulation of large jumps over finite intervals. We construct a natural extension of the minimal process and show that when $\\infty$ is accessible and $0\\leq \\frac{2\\lambda}{c}<1$, the extended process is reflected at $\\infty$. In the case $\\frac{2\\lambda}{c}\\geq 1$, $\\infty$ is an exit of the extended process. When the branching mechanism is not the Laplace exponent of a subordinator, we show that the process with reflection at $\\infty$ get extinct almost-surely. Moreover absorption at $0$ is almost-sure if and only if Grey's condition is satisfied. When the branching mechanism is the Laplace exponent of a subordinator, necessary and sufficient conditions are given for a stationary distribution to exist. The Laplace transform of the latter is provided. The study is based on classical time-change arguments and on a new duality method relating logistic CSBPs with certain generalized Feller diffusions.

研究の動機と目的

• 二次的競争を伴う連続状態ブランチ過程の境界挙動を特徴付けること。
• 分岐機構と競争パラメータに応じて、無限大が到達可能または入口境界であるかどうかを特定すること。
• 無限大が到達可能な場合の最小過程の自然な拡張を構築し、その反射または出力挙動を分析すること。
• 異なる分岐機構のもとで、0での確実な絶滅のための条件と定常分布の存在を確立すること。
• ロジスティックCSBPと一般化されたフェラー拡散過程を結びつける新しい双対性手法を構築し、構造的解析を深めること。

提案手法

• ランペルティの時間変換技術を用いて、ロジスティックCSBPを時間変換されたフェラー拡散過程と関連づける。
• ロジスティックCSBPと一般化されたフェラー拡散過程の間で新規な双対性フレームワークを適用し、境界挙動を分析する。
• 古典的な時間変換の議論とラプラス変換技術を用いて、最初の到達時刻と半群の性質を研究する。
• 単調収束定理とルベーグの定理を用いて、定常分布のラプラス変換における積分の収束を分析する。
• 制限測度のラプラス変換を用いて、定常分布の存在の必要十分条件を導出する。
• 停止時間の定理とマルティンゲールの議論を用いて、関連するオルンシュタイン＝ウーレンベルク型過程によるレベル到達の最初の到達時間のラプラス変換を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二次的競争を伴う連続状態ブランチ過程において、無限大が到達可能となる条件は何か？
• RQ2 ロジスティックCSBPは無限大で反射可能か？その場合のパラメータ制約は何か？
• RQ3 過程が0で確実に絶滅する条件は何か？これはグレイの条件とどのように関係するか？
• RQ4 ロジスティックCSBPに定常分布が存在するのはいつか？そのラプラス変換は何か？
• RQ5 ロジスティックCSBPと一般化されたフェラー拡散過程の双対性は、無限大における境界挙動をどのように特徴づけるか？

主な発見

• 無限大が到達可能であるための必要十分条件は、ラプラス指数を含む特定の積分条件が分岐機構と競争パラメータを満たすことである。
• 無限大が到達不可能な場合、常に入口境界である。これは、過程が無限大から下降できることを意味する。
• 無限大が到達可能でかつ $ \frac{2\lambda}{c} < 1 $ である場合、拡張された過程は無限大で反射する。一方、$ \frac{2\lambda}{c} \geq 1 $ である場合、無限大は出力境界である。
• 0での確実な絶滅は、競争パラメータにかかわらず、グレイの条件が満たされる場合に限り成立する。
• 分岐機構がサブオーダーのラプラス指数である場合、定常分布が存在するのは、Lévy測度に関するある積分条件が満たされる場合に限り、そのラプラス変換は明示的に計算可能である。
• 双対性手法により、境界挙動の完全な分類が可能となり、大きなジャンプと爆発ダイナミクスの役割が明らかになる。