[論文レビュー] Continuous tensor network renormalization for quantum fields

Qi Hu, Adrián Franco-Rubio+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2018

Quantum many-body systems参考文献 30被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、連続的テンソルネットワーク縮約（cTNR）を導入し、正確な時空対称性を保ちながら、連続的空間で量子場理論に対するレノルミング群フローを直接行う手法を提示する。短距離スケール $1/\Lambda$ における場のスメアリングを通じて、無限小の粗化を、スケーリングとアンエンタングルの作用素の組み合わせにより実行し、適切なRGフローを生成するとともに、自由ボソン理論における臨界固定点から共形データを抽出することに成功した。

ABSTRACT

On the lattice, a renormalization group (RG) flow for two-dimensional partition functions expressed as a tensor network can be obtained using the tensor network renormalization (TNR) algorithm [G. Evenbly, G. Vidal, Phys. Rev. Lett. 115 (18), 180405 (2015)]. In this work we explain how to extend TNR to field theories in the continuum. First, a short-distance length scale $1/Λ$ is introduced in the continuum partition function by smearing the fields. The resulting object is still defined in the continuum but has no fluctuations at distances shorter than $1/Λ$. An infinitesimal coarse-graining step is then generated by the combined action of a $rescaling$ operator $L$ and a $disentangling$ operator $K$ that implements a quasi-local field redefinition. As demonstrated for a free boson in two dimensions, continuous TNR exactly preserves translation and rotation symmetries and can generate a proper RG flow. Moreover, from a critical fixed point of this RG flow one can then extract the conformal data of the underlying conformal field theory.

研究の動機と目的

• 格子系から連続的空間における量子場理論へのテンソルネットワーク縮約（TNR）の拡張を図り、正確な並進および回転対称性を保つこと。
• 短距離カットオフ $1/\Lambda$ を用いた場のスメアリングにより、量子場理論の連続的粗化の枠組みを構築すること。
• スケーリング作用素 $L$ とアンエンタングル作用素 $K$ の併用による無限小のRG変換を構成し、適切なフロー構造を保証すること。
• cTNRが2次元自由ボソンCFTの臨界固定点を生成し、スケーリング次元や中心電荷を含む共形データを抽出できることを示すこと。
• スメアリングされた理論における準局所的演算子と、元の共形場理論（CFT）における局所的プライマリ演算子との間の関係を確立すること。

提案手法

• 回転不変なスメアリング関数 $\mu(|\bm{x}-\bm{y}|)$ を用いて量子場をスメアリングすることで、短距離カットオフ $1/\Lambda$ を導入し、UVフラクチュエーションを除去しながらも連続的構造を保持する。
• 連続的空間における無限小の粗化ステップを、空間スケーリング作用素 $L$（空間のスケーリング）と、準局所的場再定義を実装するアンエンタングル作用素 $K$ の併用によって定義する。
• $L$ と $K$ を用いて、テンソルネットワーク空間における連続的RGフローを生成し、$L$ をスケール変換の生成子、$K$ を短距離もつれを除去する役割として機能させる。
• 局所的CFTプライマリ演算子 $\mathcal{O}_{\alpha}(\bm{x})$ のスメアリング版である準局所的スケーリング演算子 $\mathcal{O}_{\alpha}^{\Lambda}(\bm{x})$ を構築し、スケーリング次元 $\Delta_{\alpha}$ と共形スピン $s_{\alpha}$ を保持する。
• スメアリングされた理論においても、演算子積展開（OPE）とウォード関係式が保存されることを示し、準局所的ストレッシングテンソル $T^{\Lambda}(z)$ が中心電荷 $c=1$ を持つ共形変換を生成することを確認する。
• 2次元自由ボソンCFTに本手法を適用し、共形対称性の正確な保存と、臨界固定点からの共形データの正確な抽出に成功した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テンソルネットワーク縮約（TNR）は、正確な時空対称性を保ちながら、格子を用いない連続的空間における量子場理論へ拡張可能か？
• RQ2 格子離散化を避けながら、適切なRGフローを生成する連続的粗化手順をどのように定式化できるか？
• RQ3 スケール $1/\Lambda$ における場のスメアリングが、TNRアルゴリズムの適切な連続的極限を可能にする役割は何か？
• RQ4 臨界固定点からの共形データ（例えばスケーリング次元や中心電荷）は、どのようにして抽出されるか？
• RQ5 スメアリングされた理論における準局所的演算子は、元のCFTにおける局所的演算子の代数的構造をどの程度引き継ぐか？

主な発見

• 連続的TNR（cTNR）アルゴリズムは、2次元自由ボソン場理論に対して、並進および回転対称性を正確に保持しながら、適切なRGフローを生成した。
• cTNRフローの臨界固定点は、元の共形場理論（CFT）の共形データを正確に再現し、プライマリ演算子のスケーリング次元 $\Delta_{\alpha}$ と共形スピン $s_{\alpha}$ を含む。
• スメアリングされた理論における準局所的ストレッシングテンソル $T^{\Lambda}(z)$ は、元のCFTと同一の中心電荷 $c=1$ を有しており、OPE $T^{\Lambda}(z)T^{\Lambda}(w) \sim \frac{1/2}{(z-w)^4} + \frac{2T^{\Lambda}(w)}{(z-w)^2} + \frac{\partial T^{\Lambda}(w)}{z-w}$ により確認された。
• スメアリング演算子 $\mathcal{O}_{\alpha}^{\Lambda}(\bm{x}) = \int d\bm{y} \, \mu(|\bm{x}-\bm{y}|) \mathcal{O}_{\alpha}(\bm{y})$ は、$L+K_\star$ および $R$ の固有演算子であり、CFTにおける局所的対応物と同一のスケーリング次元 $\Delta_{\alpha}$ と共形スピン $s_{\alpha}$ を有する。
• $T^{\Lambda}(z)$ と $\partial\phi^{\Lambda}(w)$ のOPEは、標準的なCFTのOPEと一致する： $T^{\Lambda}(z)\partial\phi^{\Lambda}(w) \sim \frac{\partial\phi^{\Lambda}(w)}{(z-w)^2} + \frac{\partial^2\phi^{\Lambda}(w)}{z-w}$、これにより代数的整合性が確認された。
• 本手法は格子TNRの連続的アナログを提供し、空間時空対称性を破ることなく、直接的に量子場理論を研究可能にした。