[論文レビュー] Continuous-time models with an autoregressive structure

Andreas Basse-O’Connor, Mikkel Slot Nielsen+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、自己回帰構造を有する2つの連続時間モデルを導入する：確率的遅延微分方程式（SDDE）と移動平均に基づくレベルモデル。定常解の存在と一意性を確立し、CARMAおよび離散時間ARMA過程と関連づけ、長距離自己回帰的依存性がカーネルではなくノイズ過程を通じて生じることを示し、可逆的CARMA過程がSDDEフレームワークの解として得られることを示している。

ABSTRACT

In this paper we suggest two continuous-time models which exhibit an autoregressive structure. We obtain existence and uniqueness results and study the structure of the solution processes. One of the models, which corresponds to general stochastic delay differential equations, will be given particular attention. We use the obtained results to link the introduced processes to both discrete-time and continuous-time ARMA processes.

研究の動機と目的

• 連続時間自己回帰モデルを、厳密な数学的基盤をもって構築すること。
• 一般のノイズ過程を有する確率的遅延微分方程式（SDDE）に対して、定常解の存在と一意性を確立すること。
• 提案されたモデルがCARMAや離散時間ARMA過程といった既存クラスとどのように関連するかを明らかにすること。
• 連続時間移動平均における長距離自己回帰的依存性が、カーネルではなくノイズ過程によってどのように生成されるかを明確にすること。
• 直接的にプロセスを定義する新しいレベルモデルの定式化を導入し、その分析を行うこと。

提案手法

• 一般の遅延測度と定常増分ノイズを有する確率的遅延微分方程式（SDDE）を用いて連続時間自己回帰モデルを定式化：$ dX_t = \left(\int_{[0,\infty)} X_{t-u} \eta(du)\right) dt + dZ_t $、ここで$ Z_t $は定常増分を有する。
• レベルモデルを提案：$ X_t = \int_0^\infty X_{t-u} \phi(du) + \int_{-\infty}^t \theta(t-u) dL_u $、これは過去の値とLévy駆動移動平均を通じてプロセスを直接定義する。
• 移動平均理論および確率的Fubini定理を用いて、核$ x_0 $との畳み込みとしての解を導出し、可積分性と定常性を保証する。
• フーリエ変換および$ L^2 $収束を用いて、解プロセスがLévy過程$ L_t $の移動平均であることを示し、核を$ \psi = \theta * x_0 $とする。
• 適切な核およびノイズに関する条件下で、可逆的CARMA過程がSDDEフレームワークの解として得られることを確立する。
• $ L^1 $および$ L^2 $収束の議論を用いて、近似列のほとんど確実収束および平均二乗収束を証明し、解が適切に定義されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の遅延測度と定常増分ノイズを有する確率的遅延微分方程式により、連続時間自己回帰過程を定義できるか？
• RQ2 提案されたモデルは、古典的CARMAおよび離散時間ARMA過程とどのように関連するか？
• RQ3 SDDEに対して定常解の存在と一意性を保証する条件は何か？
• RQ4 連続時間移動平均における長距離自己回帰的依存性は、カーネルではなくノイズ過程を通じて生成可能か？
• RQ5 レベルモデルの解をLévy過程の移動平均として表現できるか？その条件は何か？

主な発見

• ノイズ過程$ Z_t $が$ \int_{\mathbb{R}} [\theta(t-u) - \theta_0(-u)] dL_u $の形をとる場合、SDDEの解は定常連続時間移動平均プロセスである。ここで$ \theta_0 $は核がゼロに積分されるように選ばれる。
• 得られるプロセスにおける長距離自己回帰的依存性は、遅延測度$ \eta $ではなくノイズ過程$ Z_t $に起因しており、定常性のためには$ \eta $がコンパクトに台を持つ必要がある。
• 可逆的CARMA過程がSDDEフレームワークの解として示され、移動平均表現における核$ \psi $は$ \psi = \theta * x_0 $で与えられ、ここで$ x_0 $は遅延に関連するボルテラ方程式の解である。
• レベルモデルの定式化により、核$ \psi $が畳み込み級数$ \sum_{k=0}^n \theta * \phi^{*k} $の$ L^2 $極限であるとき、解が定常移動平均プロセスであることが保証される。
• レベルモデルの解は$ L^2 $収束により$ X_t = \int_{\mathbb{R}} \psi(t-u) dL_u $に収束し、ここで$ \psi $は級数$ \sum_{k=0}^\infty \theta * \phi^{*k} $の$ L^2 $極限である。これにより、プロセスが移動平均であることが証明される。
• 近似リーマン和の$ L^1 $収束を示すことにより、解プロセス$ X_t $がほとんど確実に定常であることを証明する。