[論文レビュー] Continuous time random walk, Mittag-Leffler waiting time and fractional diffusion: mathematical aspects

Rudolf Gorenflo, Francesco Mainardi|ArXiv.org|May 6, 2007

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 21被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、連続時間ランダムウォーク（CTRW）におけるべき則則の待ち時間分布とミタグ・レフラー待ち時間分布の漸近的同等性を確立し、時間と空間の適切なスケーリングおよび再速度化の下で、系が分数マクスウェル過程に収束することを示している。主な貢献は、重い尾を持つ待ち時間を持つCTRWのスケーリング極限として、空間時間分数拡散方程式を厳密に導出したことであり、その基本核としてミタグ・レフラー関数が用いられる。

ABSTRACT

We show the asymptotic long-time equivalence of a generic power law waiting time distribution to the Mittag-Leffler waiting time distribution, characteristic for a time fractional CTRW. This asymptotic equivalence is effected by a combination of "rescaling" time and "respeeding" the relevant renewal process followed by a passage to a limit for which we need a suitable relation between the parameters of rescaling and respeeding. Turning our attention to spatially 1-D CTRWs with a generic power law jump distribution, "rescaling" space can be interpreted as a second kind of "respeeding" which then, again under a proper relation between the relevant parameters leads in the limit to the space-time fractional diffusion equation. Finally, we treat the `time fractional drift" process as a properly scaled limit of the counting number of a Mittag-Leffler renewal process.

研究の動機と目的

• 長時間極限におけるべき則待ち時間分布とミタグ・レフラー待ち時間分布の数学的同等性を確立すること。
• 時間と空間を適切にスケーリングすることで、べき則待ち時間を有する連続時間ランダムウォークが時間分数CTRWに収束することを示すこと。
• このようなCTRWモデルのスケーリング極限として、空間時間分数拡散方程式を導出すること。
• ラプラス変換およびフーリエ変換を用いて、ミタグ・レフラー関数と分数拡散過程との間の関係を形式化すること。
• ギネディンコとコヴァレンコが提唱した「削減理論」に類似した方法を用いて、ミタグ・レフラー分布を用いた分数再生過程への一般化を図ること。

提案手法

• 時間のスケーリングに要因 $\tau$ を適用し、再生過程の再速度化に要因 $a$ を用い、$\tau$ と $a$ の間の特定の関係を設定することで、分布収束が保証されるようにする。
• 特性関数の収束を解析するため、ラプラス変換およびフーリエ変換を用い、弱収束の証明を可能にする。
• 一般化されたミタグ・レフラー関数 $E_{\beta,\beta}(-t^\beta)$ を待ち時間密度として用い、これは $-\frac{d}{dt}E_\beta(-t^\beta)$ に等価であり、ミタグ・レフラー再生過程を特徴付ける。
• 空間のスケーリングに要因 $h$ を導入することで空間における加速をモデル化し、時間スケーリングと組み合わせることで、空間時間分数拡散方程式が得られる。
• ギネディンコとコヴァレンコが開発した再生過程の削減理論を応用し、ミタグ・レフラー待ち時間分布への収束を正当化する。
• 空間分数拡散作用素を表すためにリエシ・フェラーの分数階微分を用い、厳密に安定分布の特性関数から導出される記号を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、適切なスケーリングおよび再速度化を通じて、べき則待ち時間分布がミタグ・レフラー待ち時間分布と漸近的に同等となるか？
• RQ2 時間と空間を適切にスケーリングした場合、べき則待ち時間を有する連続時間ランダムウォークの極限的挙動はいかなるものか？
• RQ3 時間と空間のスケーリングの組み合わせが、どのように空間時間分数拡散方程式を導くか？
• RQ4 ミタグ・レフラー関数は、分数再生過程の待ち時間分布を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ5 時間分数ドリフト過程は、適切にスケーリングされたミタグ・レフラー再生過程の極限として導出可能か？

主な発見

• ミタグ・レフラー待ち時間密度 $\phi^{\text{ML}}(t) = -\frac{d}{dt}E_\beta(-t^\beta)$ は、適切なスケーリングおよび再速度化の下で、べき則待ち時間分布の普遍的極限として出現し、ラプラス変換 $\widetilde{\phi}(s) = \frac{1}{1+s^\beta}$ を持つ。
• 生存関数 $\Psi(t) = E_\beta(-t^\beta)$ は $0 < \beta < 1$ に対して完全に単調減少であり、ミタグ・レフラー過程がポアソン過程の分数マクスウェル一般化としての確率的解釈を保持していることを示す。
• 大きな $t$ における $\phi(t)$ の漸近的挙動は $\sim \frac{\sin(\beta\pi)}{\pi} \frac{\Gamma(\beta+1)}{t^{\beta+1}}$ であり、重い尾を持つ性質が確認される。
• 時間スケーリング $\tau$ と空間スケーリング $h$ の間の特定の関係を満たす場合、べき則待ち時間とべき則ジャンプを持つCTRWのスケーリング極限として、リエシ・フェラー空間分数微分を有する分数拡散方程式が導かれる。
• ミタグ・レフラー再生過程の数え上げ関数 $N(t)$ は、分布収束により時間分数ドリフト過程に収束し、これは分数フォッカー・プランク方程式によって特徴付けられる。
• ミタグ・レフラー関数 $E_\beta(z)$ 及びその導関数は、生存関数および待ち時間密度の正確な表現を提供し、ラプラス変換およびスペクトル測度による積分表現を有する。