[論文レビュー] Analytical properties and applications of the Wright function

Rudolf Gorenflo, Yuri Luchko+1 more|ArXiv.org|Jan 28, 2007

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 7被引用数 226

ひとこと要約

本稿は、時間分数拡散波方程式のグリーン関数の表現において中心的役割を果たすワイド関数の解析的性質について包括的なサーベイを提供している。特に、ρ > -1 に対してワイド関数が完全正則成長の整関数であることを確立し、リー群の対称性法を用いたスケール不変解の構成において、一般化ワイド関数および特殊関数を用いた明示的表現を示している。

ABSTRACT

In this survey paper we consider some applications of the Wright function with special emphasis of its key role in the partial differential equations of fractional order. It was found that the Green function of the time-fractional diffusion-wave equation can be represented in terms of the Wright function. Furthermore, extending the methods of Lie groups in partial differential equations to the partial differential equations of fractional order it was shown that some of the group-invariant solutions of these equations can be given in terms of the Wright and the generalized Wright functions.Finally, we discuss recent results about distribution of zeros of the Wright function, its order, type and indicator function.

研究の動機と目的

• ρ > -1 に対してワイド関数 φ(ρ, β; z) の解析的性質を体系的に整理し、提示すること。
• ワイド関数が時間分数拡散波方程式の境界値問題を解く際の役割を確立すること。
• リー群法を分数階偏微分方程式に拡張し、不変解をワイド関数および一般化ワイド関数の形で導出すること。
• ワイド関数の零点の分布、オーダー、タイプ、および指示関数を分析し、それが完全正則成長の関数であることを証明すること。
• ワイド関数の枠組みを通じて、分数階微積分、積分変換、および物理的モデルの応用を統合すること。

提案手法

• ワイドおよび他の研究者による古典的結果を用いて、ワイド関数を含む積分表現およびラプラス変換のペアを導出する。
• 漸近解析および特殊関数論を適用して、ワイド関数の挙動を特徴づけ、特にハイパージェオメトリック型の表現を含む。
• エレデリ＝コーバーの分数階積分および微分作用素を用いて、時間および空間分数階偏微分方程式を、ワイド関数を用いて解ける常微分方程式に還元する。
• スケーリング対称性（群不変性）を適用して、分数階偏微分方程式を自己相似形に変換し、その解を φ(ρ, β; z) の形で得る。
• 一般化ハイパージェオメトリック関数および一般化ワイド関数 pΨq を用いて、時間および空間分数階拡散方程式における一般の α, β に対する解を表現する。
• オーダー、タイプ、および指示関数の分析を通じて、ワイド関数が完全正則成長の整関数であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ρ > -1 に対してワイド関数 φ(ρ, β; z) の完全な解析的性質、特に漸近挙動、零点、成長特性は何か？
• RQ2 ワイド関数を用いて、特に時間分数拡散波方程式の正確な解（特にグリーン関数）をどのように構成できるか？
• RQ3 リー群の対称性法はどのように分数階偏微分方程式に拡張可能であり、不変解はワイド関数をどのように表現するか？
• RQ4 ワイド関数の零点の分布はどのようなものか？ これはオーダー、タイプ、および指示関数とどのように関係するか？
• RQ5 一般化ワイド関数およびハイパージェオメトリック型の特殊関数は、時間および空間分数階偏微分方程式の解においてどのように現れるか？

主な発見

• ρ > -1 に対してワイド関数 φ(ρ, β; z) は完全正則成長の整関数である。
• 0 < α ≤ 2 である時間分数拡散波方程式のグリーン関数は、ワイド関数 φ(−α/2, 1; z) を用いて表現可能である。
• 時間および空間分数階偏微分方程式 ∂t^α u = D ∂x^β u のスケール不変解は、u(x,t) = t^γ ∑ C_j v_j(x t^{-α/β}) の形で与えられ、ここで v_j は一般化ワイド関数を用いて表現される。
• β = 2 かつ 1 < α < 2 の場合、解は φ(−α/2, 1 + γ; ±y/√D) の組み合わせに簡略化され、ワイド関数が対称解において果たす役割が明確に示される。
• β = 1 の場合、スケール不変解は u(x,t) = t^γ φ(−α, 1 + γ; x t^{-α}/D) の形をとり、ワイド関数が一次空間分数階モデルに直接適用可能であることが確認される。
• ワイド関数の零点の分布が規則的であることが示され、完全正則成長関数としての分類を支持する。