[論文レビュー] Continuous-time trading and emergence of randomness

Vladimir Vovk|RePEc: Research Papers in Economics|Dec 8, 2007

Complex Systems and Time Series Analysis被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、確率過程の仮定をせず、連続時間の金融市場におけるゲーム理論的枠組みを導入し、ゼロ確率の事象を定義する。最小限の仮定のもとで、証券価格経路がブラウン運動に典型的な性質——孤立したゼロ点の不在、厳密な局所極値の不在——をほとんど確実に示すことを証明する。これは連続取引戦略からのランダム性の出現に起因する。

ABSTRACT

A new definition of events of game-theoretic probability zero in continuous time is proposed and used to prove results suggesting that trading in financial markets results in the emergence of properties usually associated with randomness. This paper concentrates on "qualitative" results, stated in terms of order (or order topology) rather than in terms of the precise values taken by the price processes (assumed continuous).

研究の動機と目的

• 非標準解析や事前の確率的仮定に依存せずに、連続時間におけるゼロ確率事象のゲーム理論的定義を構築すること。
• 理想化された市場における連続取引から自然に生じるブラウン運動の標本路の性質を調査すること。
• 通常はランダム性に関連するとされる性質——孤立したゼロ点の不在、厳密な単調性の不在——が、最小限の市場効率性仮定のもとでほとんど確実に成り立つことを示すこと。
• 確率的モデル化ではなく、連続取引戦略の構造からランダムに似た振る舞いがどのように生じるかを形式化すること。
• 取引プロトコルを通じて、金融価格経路におけるランダム性の出現を非確率的基盤で理解するための基礎を提供すること。

提案手法

• 状態（Reality、価格経路を設定）と懐疑者（Sceptic、取引で利益を得る）の間の連続時間ゲームを定義する。
• 価格経路を、$[0, \infty)$ 上のすべての連続実数値関数の空間 $\Omega$ における連続関数としてモデル化する。
• 停止時刻の列と、それらの時点で有界かつ可測なポートフォリオを用いて、基本的取引戦略を定義する。
• 有限な初期資本を持つ基本的資本プロセスの和として正の資本プロセスを構築し、極限においてアービタージュが生じないようにする。
• 上側確率 $\overline{\mathbb{P}}(E)$ を、ある正の資本プロセスが事象 $E$ の指示関数を超えるために必要な初期資本の下界として定義する。
• 離散的な価格水準の目標と小さな利益を用いた大数の法則風の戦略を用い、特定の正則性の破れを避ける経路に対して資本の増大を強制する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率過程の仮定をせず、連続取引からどのブラウン運動の標本路の性質が導かれるか。
• RQ2 非標準解析を用いずに、連続時間におけるゲーム理論的確率のゼロ事象をどのように定義できるか。
• RQ3 価格経路に孤立したゼロ点や厳密な局所極値が存在しないことが、どのような条件下でほとんど確実に成立するか。
• RQ4 $\sqrt{dt}$ スケーリングの挙動が、事前の確率的仮定なしにゲーム理論的枠組みからどのように生じるか。
• RQ5 通常はランダム性に関連するとされる性質が、ランダム性そのものではなく、連続取引のメカニズムからどれほど自然に生じるか。

主な発見

• 本稿は、価格経路がほとんど確実に孤立したゼロ点を持たないことを確立している。これは、ある点で価格がゼロであっても、その近傍で他にゼロでない点が存在しないような点が存在しないことを意味する。
• 価格経路はほとんど確実に、厳密な増加または減少の点を持たない。これは、厳密な意味での局所的単調性が存在しないことを示している。
• 初期資本を1に限りなく近づける正の資本プロセスを構築でき、これは孤立したゼロ点や厳密な極値の存在を欠く経路に対して無限大に成長する。
• 戦略は、離散的な価格水準での小さな有界なベットの列に依存し、正則性を破る振る舞いを避ける経路で利益が蓄積される。
• 所望のランダムに似た性質を満たさない経路では、構築された戦略の最終資本を任意に大きくでき、これによりそれらの性質がゲーム理論的に確率が低いことが証明される。
• この方法は非標準解析を避け、リーマン和と離散近似を用いて連続的挙動を模倣することで、構成が厳密かつアクセス可能であることを保証する。