[論文レビュー] Game-theoretic Brownian motion

Vladimir Vovk|ArXiv.org|Jan 8, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、確率的事前分布を仮定せずに標準的なブラウン運動を形式化するゲーム理論的枠組み——リーヴィゲーム——を導入する。2つの証券（$\omega(t)$ および $\omega^2(t) - t$）における連続時間取引をモデル化することで、ウィーナー測度が非確率的・ゲーム理論的設定における上位確率として出現することを示し、確率が初期にランダム性の仮定を必要としない決定論的プロトコルから生じうることを示している。

ABSTRACT

This paper suggests a perfect-information game, along the lines of Levy's characterization of Brownian motion, that formalizes the process of Brownian motion in game-theoretic probability. This is perhaps the simplest situation where probability emerges in a non-stochastic environment.

研究の動機と目的

• 確率測度を事前に仮定せずに、ゲーム理論的確率枠組みの中でブラウン運動を形式化すること。
• ウィーナー測度が、リアリティと懐疑主義者との完全情報ゲームにおける上位確率として自然に出現することを示すこと。
• 特定の取引ルールの下で、非確率的・決定論的プロトコルにおいて完全な確率測度が出現することを確立すること。
• 連続的サンプルパスの文脈において、得られた上位確率の可測性と整合性を調査すること。
• 停止時刻やリスクの有界性に関する仮定を緩めた場合に、フレームワークが整合性を保つかどうかを検討すること。

提案手法

• リアリティ（$\omega(0) = 0$ を満たす連続パス $\omega$ を選ぶ）と懐疑主義者（$\omega(t)$ および $\omega^2(t) - t$ の2つの証券にベットする）の間の完全情報ゲームを形式化する。
• 停止時刻の列と、2つの証券に対する有界で可測なリスクを用いて、基本的なベッティング戦略を定義する。
• 初期資本の級数が収束するように、基本資本プロセスの和として正の資本プロセスを構築する。
• 上位確率 $\overline{\mathbb{P}}(E)$ を、懐疑主義者が彼の資本がイベント $E$ の指示関数を超えるように保証できる初期資本の下界として定義する。
• リーヴィゲームを用いて、サンプルパスの連続性のモジュラスおよび局所的変動の最大値に対する経路ごとの上限を導出する。
• 時間 $T \wedge \inf\{t : |\omega(t)| = \alpha^{-1/2}T^{1/2} + 1\}$ で停止戦略を適用し、連続性のモジュラス $m^T_\delta$ の上限を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なブラウン運動を、事前に確率測度を仮定せずにゲーム理論的枠組みで形式化できるか？
• RQ2 非確率的・連続時間ゲームにおいて、ウィーナー測度が上位確率として出現する条件は何か？
• RQ3 このゲーム理論的設定における $\overline{\mathbb{P}}$-可測集合のクラスは何か？
• RQ4 停止時刻およびリスクの可測性制限を外した場合、ゲームは整合的か？
• RQ5 リスクの有界性条件を除外しても、ゲーム理論的確率枠組みの整合性は保たれるか？

主な発見

• リーヴィゲームにおいてウィーナー測度が上位確率として出現し、確率が初期にランダム性の仮定を必要としない決定論的プロトコルから生じうることを示している。
• 任意の $\alpha > 0$ および $T > 0$ に対して、イベント $\{\forall \delta > 0: m^T_\delta \leq 157\, \alpha^{-1/2} T^{3/8} \delta^{1/8}\}$ の下位確率は $1 - \alpha$ 以上である。
• $T \geq 1$ に対して、連続性のモジュラス $m^T_\delta$ の上限は $m^T_\delta \leq 800\, \alpha^{-1/2} T^{1/2} \delta^{1/8}$ に強化され、下位確率は $1 - \alpha$ 以上である。
• $\overline{\mathbb{P}}$-可測集合のクラスは、ウィーナー測度 $W$ の下でのフィルトレーション $\mathcal{F}$ の完備化を含む。
• 現在の制約下でもゲームは整合的であり、パスの挙動に関する境界は確率論的ではなく、経路ごとのものである。
• フレームワークは非確率的状況において完全な確率測度の出現を支持しており、ランダムネスが仮定ではなく、プロトコル構造の結果である可能性を示唆している。