[論文レビュー] Continuous-time trading and the emergence of probability

Vladimir Vovk|RePEc: Research Papers in Economics|Apr 28, 2009

Economic theories and models被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、連続時間金融における確率の非確率的でゲーム理論的な基礎を確立し、連続取引プロトコルにおける典型的な価格経路が二次変動を有することを示している。時間に二次変動を代入すると、事前に確率測度を仮定せずに価格経路はブラウン運動に収束する——したがって、ウィーナー測度は取引戦略と資本成長から自然に生じる。これは、確率的仮定なしにドゥビンズ＝シュバルツの定理に類似するものである。

ABSTRACT

This paper establishes a non-stochastic analogue of the celebrated result by Dubins and Schwarz about reduction of continuous martingales to Brownian motion via time change. We consider an idealized financial security with continuous price path, without making any stochastic assumptions. It is shown that typical price paths possess quadratic variation, where "typical" is understood in the following game-theoretic sense: there exists a trading strategy that earns infinite capital without risking more than one monetary unit if the process of quadratic variation does not exist. Replacing time by the quadratic variation process, we show that the price path becomes Brownian motion. This is essentially the same conclusion as in the Dubins-Schwarz result, except that the probabilities (constituting the Wiener measure) emerge instead of being postulated. We also give an elegant statement, inspired by Peter McCullagh's unpublished work, of this result in terms of game-theoretic probability theory.

研究の動機と目的

• 連続時間金融市場における確率の非確率的基礎を確立し、事前に確率測度を仮定する必要を回避すること。
• 確率的解析の中心的役割を果たすウィーナー測度が、市場のダイナミクスと取引戦略からだけ生じることを示すこと。
• ゲーム理論的確率を用いて、連続的価格経路の変動インデックスおよび経路の性質に関する先行結果を一般化・強化すること。
• 資本成長とリスク制約のみを用いて、二次変動を時間として用いる時間変換に基づく構成的変換により、価格経路をブラウン運動に変換すること。
• 連続的経路に関する先行研究（例：孤立したゼロ点の不在、二次変動）の結果を、一貫した枠組みで統合・拡張すること。

提案手法

• 2人のプレイヤー（市場：価格範囲を設定、取引者：戦略を実行）からなるゲーム理論的プロトコルを用い、確率的仮定を一切含まない。
• 資本が増加する戦略の存在によって、イベントの上界および下界の価格を定義し、'確率1'を'破綻のリスクなし'に置き換える。
• 高周波取引戦略を用いて連続時間取引を模擬し、価格経路の性質を導出する。
• 二次変動による時間変換を導入：時間に価格経路の累積二次変動を代入すると、プロセスはブラウン運動に漸近する。
• 指数マルティンゲールに基づくスーパーキャピタル過程の構成を用い、いかなる経路に対しても特定のプロセスがスーパーマルティンゲールであることを証明する。
• ピーター・マクカローズのfiducialのアイデアを活用：確率は時間変換に対して不変なイベントにのみ生じる。これにより、ウィーナー測度の自然な定義が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 事前に確率測度を仮定せず、連続取引プロトコルからウィーナー測度が生じるか？
• RQ2 ゲーム理論的枠組みにおいて、連続的価格経路がどのような条件下で二次変動を有するか？
• RQ3 確率が前提とされない非確率的設定で、ドゥビンズ＝シュバルツの定理を再構築できるか？
• RQ4 二次変動による時間変換が、一般の連続的価格経路をブラウン運動に変換する役割は何か？
• RQ5 時間変換における不変性が、ゲーム理論的確率における確率の生じ方とどのように関係するか？

主な発見

• ゲーム理論的枠組みにおける典型的な連続的価格経路は、二次変動を有する。これは、経路が二次変動を欠如する場合に限り無限の資本を獲得する取引戦略によって示された。
• 時間に二次変動を代入すると、価格経路はブラウン運動と区別できず、ウィーナー測度は不変イベントの上界および下界の価格として自然に生じる。
• 主結果（定理3.1）は、不変イベントに対して上界および下界の価格が一致し、確率測度を仮定しなくてもウィーナー測度に等しいことを確立している。
• 構成的バージョン（定理5.1）は、二次変動を時間として用いる時間変換された価格経路がブラウン運動に漸近することを示し、直接的かつアルゴリズム的な変換を提供している。
• この結果は、先行研究の変動インデックス（2）および経路の正則性（例：孤立したゼロ点の不在）の結果を特別な場合として包含・一般化している。
• ジャーナル版は主結果（定理6.3）を強化し、不完全市場および連続時間プロトコルにおける確率の生じ方に関する明確化を含んでいる。