[論文レビュー] Coherent Price Systems and Uncertainty-Neutral Valuation

Patrick Beißner|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 47被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、G・ブラウン運動を用いた不確実性中立的価格設定と部分線形価格体系を導入することで、ボラティリティの不確実性下における金融市場の整合的価格評価フレームワークを構築する。G期待値下で等価対称マルティングルール測度集合（EsMM集合）の存在を確立し、複数の互いに特異な事前分布を含む状況にまで、資産市場の基本定理を拡張することで、モデルの不確実性下でもアービタージュフリーな価格設定を可能にする。

ABSTRACT

We consider fundamental questions of arbitrage pricing arising when the uncertainty model is given by a set of possible mutually singular probability measures. With a single probability model, essential equivalence between the absence of arbitrage and the existence of an equivalent martingale measure is a folk theorem, see Harrison and Kreps (1979). We establish a microeconomic foundation of sublinear price systems and present an extension result. In this context we introduce a prior dependent notion of marketed spaces and viable price systems. We associate this extension with a canonically altered concept of equivalent symmetric martingale measure sets, in a dynamic trading framework under absence of prior depending arbitrage. We prove the existence of such sets when volatility uncertainty is modeled by a stochastic differential equation, driven by Peng's G-Brownian motions.

研究の動機と目的

• モデルの不確実性下での単一確率モデルの限界を是正すること。
• 複数の互いに特異な事前分布が存在する状況における部分線形価格体系のミクロ経済学的基盤を構築すること。
• ボラティリティの不確実性を考慮した状況に、事前分布依存の価格体系の概念を導入することで、資産市場の基本定理を拡張すること。
• 事前分布依存のアービタージュ不在の下で、G期待値下での等価対称マルティングルール測度集合（EsMM集合）の存在を確立すること。
• 部分線形期待値フレームワークにおける測度変換を可能にするGirsanov型変換を構築すること。

提案手法

• 互いに特異な確率測度の集合を用いて不確実性をモデル化し、支配されない事前分布と不可避な不確実性を表現する。
• PengのG・ブラウン運動を用いた部分線形期待値フレームワークを導入し、ボラティリティの曖昧さを捉える。
• 新たなアービタージュの概念「P-アービタージュ」を定義する。これは、Pに属するすべての事前分布においてコストが非正で、支払いが非負であり、かつ少なくとも1つの事前分布においては正の支払いを持つクレームを指す。
• 等価マルティングルール測度の概念を、Pのすべての事前分布に対して一貫的かつ対称となるEsMM集合へと標準的拡張する。
• G期待値におけるGirsanov定理を適用し、新しい部分線形期待値の存在を保証するNovikov型条件を用いる。
• G期待値下でのマルティングルール表現定理を用い、Gマルティングルールを非対称なドリフト項（−Kt）を持つストキャスティック積分として特徴付ける。このドリフト項自体がGマルティングルールである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数の互いに特異な事前分布を含む市場において、古典的資産市場の基本定理をどのように拡張できるか。
• RQ2 ボラティリティの不確実性下の部分線形期待値フレームワークにおいて、適切なマルティングルールおよび等価測度の概念とは何か。
• RQ3 Gフレームワーク下で、EsMM集合（等価対称マルティングルール測度集合）が存在する条件は何か。
• RQ4 G期待値設定下で、測度変換を可能にするGirsanov型変換をどのように構築できるか。
• RQ5 Gマルティングルールの表現における非対称過程−Ktの役割は何か。また、これは古典的伊藤過程とどのように異なるか。

主な発見

• ボラティリティの不確実性がG・ブラウン運動に駆動される確率微分方程式によってモデル化される限り、EsMM集合の存在が保証される。
• Gマルティングルールは、$ M_t = x + \igint_0^t z_s dB^G_s + \igint_0^t heta_s d\ngle B^G \rangle_s - \igint_0^t 2G(\theta_s) ds $ の形で特徴付けられる。ドリフト項が部分線形性を保証する。
• 過程 $ -K_t = \igint_0^t \eta_s d\langle B\rangle_s - \igint_0^t 2G(\eta_s) ds $ は、連続的かつ非増加であり、0の二次変動を持つGマルティングルールである。
• G期待値下でのマルティングルール表現定理により、任意の $ L^2_G $-確率変数は、ストキャスティック積分と非対称ドリフト項への一意的な分解をもつ。
• Novikov型条件 $ E_G[\exp((\frac{1}{2}+\varepsilon)\int_0^T \theta^2_s d\langle B^G\rangle_s)] < \infty $ の下で、Girsanov型定理が確立される。これにより、変換された過程 $ B^\theta_t = B^G_t - \int_0^t \theta_s d\langle B^G\rangle_s $ が、新しい部分線形期待値下でG・ブラウン運動であることが保証される。
• 新しい測度 $ \mathcal{P}^\theta $ は $ \mathcal{E}^\theta(X) = E_G[\mathtt{E}^\theta_T \cdot X] $ により定義され、$ \mathtt{E}^\theta $ は $ d\mathtt{E}^\theta_t = \mathtt{E}^\theta_t \theta_t dB^G_t $、$ \mathtt{E}^\theta_0 = 1 $ を満たす。