[論文レビュー] Continuous versus discrete structures II -- Discrete Hamiltonian systems and Helmholtz conditions

Jacky Cresson, Frédéric Pierret|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2015

Numerical methods for differential equations参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、離散埋め込み枠組みにおいて離散ハミルトニアン系を確立し、連続ハミルトニアン力学の一貫性のある離散アナロジーを提供する。離散系がハミルトニアンであるための明示的ヘルムホルツ条件を導出し、線形または特定のステップサイズ制約を満たす修正調和振動子など、特定の離散系にのみハミルトニアン構造が存在可能であることを証明した。これにより、離散ハミルトニアン設定における逆問題が解決される。

ABSTRACT

We define discrete Hamiltonian systems in the framework of discrete embeddings. An explicit comparison with previous attempts is given. We then solve the discrete Helmholtz's inverse problem for the discrete calculus of variation in the Hamiltonian setting. Several applications are discussed.

研究の動機と目的

• 離散埋め込みを用いて、連続ハミルトニアン力学と整合する離散ハミルトニアン系の整合的フレームワークを定義すること。
• ハミルトニアン設定における離散ヘルムホルツ逆問題を解き、差分方程式が変分原理から生じるための条件を同定すること。
• 提案されたフレームワークを先行研究（例えば、West や Opris）と比較し、定式化および構造的整合性の点で異なる点を明らかにすること。
• 線形系、摩擦系、または修正調和振動子などの離散系が、どのような条件下でハミルトニアン構造を有するかを明示的に特定すること。

提案手法

• 離散埋め込み形式を用いて、時刻グリッド T = hZ ∩ [a,b] 上で離散微分作用素 Δ と ∇、および離散シンプレクティック内積を定義する。
• 離散部分積分および離散原始関数を用いて、離散ハミルトン原理と変分構造を導出する。
• 離散微分作用素が離散シンプレクティック形式に関して自己随伴であることを要求することで、離散ヘルムホルツ条件（CH1 および CH2）を導出する。
• 有限差分作用素の離散随伴作用素を導入し、ハミルトニアン構造に必要な自己随伴性条件を特徴付ける。
• 具体的な系（ニュートンの運動方程式、線形摩擦、修正調和振動子）にフレームワークを適用し、ρ(P) = P - h∇P を用いた代入により一貫性を分析する。
• ベクトル場のヤコビアンが対称であること（CH1）および系がシンプレクティック構造を保存すること（CH2）の条件を用いて、ハミルトニアン実現可能性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、離散2階差分系が離散ハミルトニアン系として表現可能となるか？
• RQ2 離散埋め込み枠組みは、離散系と連続系のハミルトニアン力学の間で一貫性をどのように保証するか？
• RQ3 離散系がハミルトニアンであるための必要十分条件であるヘルムホルツ型条件は何か？また、連続系のそれとはどのように異なるか？
• RQ4 なぜ一部の系（例：線形摩擦系や修正調和振動子）は離散ハミルトニアン構造を有しないのか？
• RQ5 非線形項や非対称項を含む系に、離散ヘルムホルツ条件を適用可能か？その場合に生じる制約は何か？

主な発見

• ニュートンの運動方程式から離散埋め込みを用いて導出された系 (68) は、ポテンシャル U が線形、すなわち U''(Q) = 0 である場合に限り、ハミルトニアン構造を有する。
• 線形摩擦系 (70) においては、摩擦係数 γ = 0 の場合に限り、離散ハミルトニアン構造が存在する。これは連続系と整合的である。
• 系 (73) においては、γ = h/m のときのみハミルトニアン構造が存在する。これは、時間ステップ h が系のパラメータに適合する必要があることを示している。
• 修正調和振動子 (74) は、ベクトル場のヤコビアンが非対称であるため、ヘルムホルツ条件 (CH1) を満たさず、離散ハミルトニアン構造を有しないことが証明された。
• 離散ヘルムホルツ条件（CH1 および CH2）は、ハミルトニアン設定において、離散系が変分原理から生じるための必要十分条件である。
• 本フレームワークは、時刻スケール微積分への一般化が可能であり、ビスマールクの確率的変分法を用いた確率的ハミルトニアン系への応用も可能である。