[論文レビュー] Contracting to a Longest Path in H-Free Graphs

Walter Kern, Daniël Paulusma|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 52被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、H-フリーなグラフにおけるLongest Path Contractibility問題の完全な複雑性二分法を提供し、HがP2 + P4の部分グラフである場合に限り多項式時間で解けることを証明している。著者らは、問題をマッチング問題に還元する新しい契約可能性技術を導入し、さらにLongest Path ContractibilityとLongest Cycle Contractibilityが(P2 + P4)-フリーなグラフ上で異なる複雑性を示すことを示した。これは分野における重要な差異を解消した。

ABSTRACT

A graph G is contractible to a graph H if there is a set X subseteq E(G), such that G/X is isomorphic to H. Here, G/X is the graph obtained from G by contracting all the edges in X. For a family of graphs F, the F-Contraction problem takes as input a graph G on n vertices, and the objective is to output the largest integer t, such that G is contractible to a graph H in F, where |V(H)|=t. When F is the family of paths, then the corresponding F-Contraction problem is called Path Contraction. The problem Path Contraction admits a simple algorithm running in time 2^n * n^{O(1)}. In spite of the deceptive simplicity of the problem, beating the 2^n * n^{O(1)} bound for Path Contraction seems quite challenging. In this paper, we design an exact exponential time algorithm for Path Contraction that runs in time 1.99987^n * n^{O(1)}. We also define a problem called 3-Disjoint Connected Subgraphs, and design an algorithm for it that runs in time 1.88^n * n^{O(1)}. The above algorithm is used as a sub-routine in our algorithm for Path Contraction.

研究の動機と目的

• すべてのH-フリーなグラフにおけるLongest Path Contractibilityの計算複雑性を分類すること。
• Longest Path Contractibilityの二分法結果を確立し、多項式時間で解ける場合とNP完全な場合を区別すること。
• 問題をマッチング問題に還元する一般化された契約可能性技術を開発すること。
• Longest Path ContractibilityとLongest Cycle ContractibilityがH-フリーなグラフ上で同じ複雑性の挙動を示さないことを示すこと。
• Longest Path Contractibilityの複雑性に関する未解決事項を解消し、残された未解決問題を強調すること。

提案手法

• 著者らは、禁止部分グラフHの構造的解析を用いて、Longest Path Contractibilityの複雑性を分類した。
• 問題をマッチング問題に還元できる新しい契約可能性技術を導入し、特定のグラフクラスにおいて効率的な計算を可能にした。
• 特定のHに対してNP完全性を示すために、超グラフ2色塗り分け問題への還元を用い、超グラフHからグラフG′Hを構成した。
• P5-フリーおよびP6-フリーなグラフに関する既知の結果を応用し、異なるケースでの多項式時間解法とNP完全性を確立した。
• Hの構造、特に3P2やP6などの誘導部分グラフに注目し、Theorem 7とTheorem 5を用いてケースを処理した。
• 重要なステップとして、G′Hが(P2 + P4)-フリーであることを証明し、このクラスにおける多項式時間結果を可能にした。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのグラフHに対して、H-フリーなグラフにおけるLongest Path Contractibilityが多項式時間で解けるか？
• RQ2 H-フリーなグラフにおけるLongest Path Contractibilityの多項式時間解法とNP完全な場合の正確な境界は何か？
• RQ3 H-フリーなグラフ上でのLongest Path ContractibilityとLongest Cycle Contractibilityの複雑性は同一か？
• RQ4 特定のグラフクラスにおいて、問題をマッチング問題に還元する一般化された契約可能性技術を開発できるか？
• RQ5 H-フリーなグラフにおけるLongest Path Contractibilityの複雑性に関する未解決事項は何か？

主な発見

• 新しい契約可能性技術により、問題をマッチング問題に還元した結果、(P2 + P4)-フリーなグラフではLongest Path Contractibilityが多項式時間で解けることが証明された。
• Hに誘導部分グラフ3P2を含む、またはP6の部分グラフである場合、H-フリーなグラフにおける問題はNP完全であることが示され、二分法が確立された。
• Longest Path ContractibilityとLongest Cycle Contractibilityの複雑性がH-フリーなグラフ上で一致しないことが示された。これは、(P2 + P4)-フリーなグラフ上でC4-ContractibilityがNP完全であることで裏付けられた。
• (P2 + P4)-フリーなグラフ上でのC4-ContractibilityがNP完全であるため、このクラスにおいてLongest Cycle ContractibilityもNP完全であることが示された。
• 本稿では、HがP2 + P4の部分グラフである場合に限り、H-フリーなグラフにおけるLongest Path Contractibilityが多項式時間で解けることを示し、複雑性が完全に解明された。
• 結果から、P5-フリーなグラフではLongest Path Contractibilityが多項式時間で解けるが、P6-フリーなグラフではNP完全であることが判明し、P6で明確な閾値が存在することが示された。