[論文レビュー] Contractive projections and real positive maps on operator algebras

David P. Blecher, Matthew Neal|arXiv (Cornell University)|May 14, 2019

Advanced Operator Algebra Research参考文献 53被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、非自己随伴およびジョルダン作用素代数における標準的正性の代わりに実正性を導入することで、作用素代数における収縮型射影および実正性写像に関する古典的結果を一般化する。実正性写像の基礎理論を確立し、等長写像に関する新しいバナッハ＝ストーン型定理を証明し、収縮型射影を用いたジョルダン作用素代数における対称的実正性射影の特徴付けを行い、C*-代数およびJB代数からの結果をより広範な非結合的設定へと拡張する。

ABSTRACT

We study contractive projections, isometries, and real positive maps on algebras of operators on a Hilbert space. For example we find generalizations and variants of certain classical results on contractive projections on C*-algebras and JB-algebras due to Choi, Effros, Størmer, Friedman and Russo, and others. In fact most of our arguments generalize to contractive `real positive' projections on Jordan operator algebras, that is on a norm-closed space A of operators on a Hilbert space which are closedunder the Jordan product. We also prove many new general results on real positive maps which are foundational to the study of such maps, and of interest in their own right. We also prove a new Banach-Stone type theorem for isometries between operator algebras or Jordan operator algebras. An application of this is given to the characterization of symmetric real positive projections.

研究の動機と目的

• C*-代数およびJB代数における収縮型射影および実正性写像に関する古典的結果を、非結合的ジョルダン作用素代数へと拡張すること。
• C*-代数における正写像を一般化する実正性写像の基礎理論を構築すること。
• 作用素代数とジョルダン作用素代数の間の等長写像に関する新しいバナッハ＝ストーン型定理を証明すること。
• 収縮型射影の構造とその像を用いて、対称的実正性射影を特徴付けること。
• ジョルダン作用素代数における収縮型射影の像が、新しい積を備えてジョルダン代数構造を備えること、すなわちチョイ・エフロスの定理を一般化すること。

提案手法

• 非自己随伴代数における正性の代替として、正の実部（すなわち Re(a) ≥ 0）を持つ作用素として定義される実正性を、中心的役割として用いる。
• 最近の実正性写像および完全に収縮型の射影に関する研究の技術を応用し、それをジョルダン作用素代数へと拡張する。
• I−P も収縮的であるような収縮型射影 P を用いて、核および像に関する構造的結果を導出する。
• 分解 A = P(A) ⊕ Ker(P) を用い、実正性要素と射影の核との間の相互作用を分析する。
• 等長写像を、ジョルダン *-準同型を介して特徴付ける新しいバナッハ＝ストーン型定理を適用する。
• ジョルダン作用素代数における収縮型射影の像が、新しい積 x∘y ↦ P(x∘y) を備えてジョルダン作用素代数となるという事実を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジョルダン作用素代数における収縮型射影 P の像が、新しい積 P(x∘y) を備えてジョルダン部分代数となるのはどのような条件下か？
• RQ2 実正性写像は非自己随伴的および非結合的作用素代数へどのように一般化可能であり、それらが満たす基礎的性質は何か？
• RQ3 作用素代数またはジョルダン作用素代数間の等長写像の正確な特徴付けは何か？また、古典的バナッハ＝ストーン定理とはどのように異なるか？
• RQ4 単位的収縮型射影 P が単位射影であることが保証されるのはいつか？また、核の実正性要素による稠密な張り合わせが果たす役割は何か？
• RQ5 対称的実正性射影は、収縮型射影の構造とその固定点部分空間を用いて完全に特徴付け可能か？

主な発見

• ジョルダン作用素代数における完全に収縮型射影 P の像は、積 x∘y ↦ P(x∘y) を備えて、完全等長的ジョルダン同型写像を介してジョルダン作用素代数と同型となる。
• A が結合的作用素代数であり、P が完全に収縮型射影である場合、P の像は積 x⋅y ↦ P(xy) を備えて完全等長的同型写像を介して結合的作用素代数と同型となる。
• 単位的収縮型射影 P が単位射影であるための十分条件として、Ker(P) が実正性要素により稠密に張られ、かつ I−P が Re(A) 上で収縮的であることが挙げられる。
• D が実正性要素により稠密に張られ、かつ I−P が収縮的である場合、収縮型単位射影 P の核は D ∩ F_A = {0} を満たし、その結果 P は単位射影となる。
• 作用素代数またはジョルダン作用素代数間の等長写像がジョルダン *-準同型として特徴付けられる新しいバナッハ＝ストーン型定理が成立する。これは、等長写像が *-準同型でない場合にも成立する。
• Ker(P) が実正性要素により稠密に張られているという条件は、P(A) がジョルダン部分代数であることを保証する。この条件は、そのような要素の生成する閉代数に弱めることが可能である。