[論文レビュー] Control for Schrödinger equation on hyperbolic surfaces

Long Jin|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、コンpactな双曲的表面における任意の空でない開集合が、時間に依存するシュレーディンガー方程式に対して可観測性および正確な制御を提供することを確立している。DyatlovとJin（2017）の半古典的制御推定に基づき、著者らはヒルベルト一意性法（HUM）を用いて、可観測性が任意の開部分集合で成り立つならば正確な可制御性が導かれるということを証明しており、これは以前は平坦なトーラスでのみ知られていた結果を拡張したものである。

ABSTRACT

We show that the any nonempty open set on a hyperbolic surface provides observability and control for the time dependent Schrödinger equation. The only other manifolds for which this was previously known are flat tori. The proof is based on the main estimate in Dyatlov-Jin and standard arguments of control theory.

研究の動機と目的

• コンパクトな双曲的表面におけるシュレーディンガー方程式の可観測性と制御を確立すること。
• 非空な開集合がシュレーディンガー方程式を制御できることを、以前は平坦なトーラスでのみ知られていたのを双曲的表面へ拡張すること。
• 一般の多様体とは異なり、双曲的表面では幾何的制御条件が不要であることを示すこと。
• 結果が $L^\infty$ ポテンシャルを有するシュレーディンガー作用素へと拡張可能であることを示すこと、さらには $L^2$ ポテンシャルへも拡張可能である可能性を示すこと。
• 最近のトーラスに関する研究で示されたように、粗い制御集合や $L^4$-正則な制御関数へと結果を拡張可能かどうかを検討すること。

提案手法

• DyatlovとJin（2017）が示した半古典的制御推定を活用し、コスフィアーバンドにおける任意の消えないカットオフが、解の $L^2$-ノルムを対数的誤差の範囲で制御することを示している。
• 可観測性から正確な可制御性を導くために、ヒルベルト一意性法（HUM）を用い、制御問題と観測問題の双対性を活用している。
• 解の時間的発展が $(0,T)\times\Omega$ 上で $L^2$-ノルムで消える初期データが唯一ゼロ関数であることを示すために、一意性とコンパクト性の議論を用いている。
• スペクトル理論と正規直交固有関数展開を用いて、解の $H^{-4}$-ノルムを制御し、収束推定を得ている。
• $V \in L^\infty(M;\mathbb{R})$ に対して $-\Delta$ から $-\Delta + V$ へと結果を拡張するために摂動論を適用している。
• ヒルベルト空間における双対性を用いて、可観測性と制御作用素の上への性質の等価性を根拠としている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな双曲的表面における任意の非空な開集合は、幾何的制御条件を要せず、シュレーディンガー方程式を制御可能か？
• RQ2 DyatlovとJin（2017）の半古典的制御推定は、双曲的表面におけるシュレーディンガー方程式の可観測性および可制御性を示唆するか？
• RQ3 平坦なトーラスの場合と同様に、$L^2$-ポテンシャルを有するシュレーディンガー作用素へと結果をどの程度まで拡張可能か？
• RQ4 最近のトーラスに関する研究で示されたように、粗い制御集合や $L^4$-関数へと制御結果を一般化可能か？
• RQ5 定理1.2における可観測定数 $K$ は、定理1.1の半古典的推定から計算可能か？

主な発見

• コンパクトな双曲的表面 $M$ 上の任意の非空な開集合 $\Omega \subset M$ は、シュレーディンガー方程式に対して可観測性を提供する：$\|u_0\|_{L^2}^2 \leq K \int_0^T \|e^{it\Delta}u_0\|_{L^2(\Omega)}^2 dt$ となる $K > 0$ が存在し、$K$ は $M$, $\Omega$, $T$ に依存する。
• 可観測性推定は正確な可制御性を示唆する：任意の $u_0 \in L^2(M)$ に対して、$(i\partial_t + \Delta)u = f\mathbf{1}_{(0,T)\times\Omega}$ を満たす解 $u$ が存在し、$u(T,\cdot) \equiv 0$ となるような制御関数 $f \in L^2((0,T)\times\Omega)$ が存在する。
• 証明は、時間的に $\Omega$ 上で消える非自明な解が存在しないこと、すなわち $H^{-4}$-ノルムの推定を用いた一意性とコンパクト性の議論により示されている。
• 結果は $V \in L^\infty(M;\mathbb{R})$ であるシュレーディンガー作用素 $-\Delta + V$ へと拡張可能であり、主な半古典的推定がこのような摂動のもとでも有効であるためである。
• 主な技術的ステップは、初期データの時間的発展が $\Omega$ 上で消えるならば、それが唯一ゼロ関数であることを、固有関数展開とスペクトル減衰を用いて示すことである。
• 可観測不等式における定数 $K$ は、原則として定理1.1の半古典的定数 $C$ から計算可能であり、[BBZ13, Appendix A] の技術に従う。