[論文レビュー] Controllability Issues of Linear Ensemble Systems.

Xudong Chen|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2020

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、関数解析と実解析の道具を用いて、パrameter空間の次元が1より大きい場合、実解析的線形アンサンブル系が2 ≤ p ≤ ∞に対してL^p可制御性を達成できないことを証明することで、アンサンブル制御における未解決問題を解決した。この結果は、高次元パrameter空間における可制御性に根本的な制限が存在することを示している。

ABSTRACT

We address an open problem in ensemble control: Whether there exist controllable linear ensemble systems over high dimensional parameterization spaces? We provide a negative answer: Any real-analytic linear ensemble system is not $\mathrm{L}^p$-controllable, for $2\le p \le \infty$, if the dimension of its parameterization space is greater than one.

研究の動機と目的

• 高次元パrameter化空間上で可制御な線形アンサンブル系が存在するかを調査すること。これは、アンサンブル制御における長年の未解決問題である。
• パrameterに実解析的依存を示す線形アンサンブル系におけるL^p可制御性の根本的制限を特定すること。
• パrameter化空間の次元が線形アンサンブル系の可制御性に与える影響を分析すること。
• パrameter依存動的システムを有する大規模システムの制御可能性の理論的境界を確立すること。
• パrameter空間の次元が1を超える場合、L^p可制御な線形アンサンブル系が存在しないという否定的答えを提示すること。

提案手法

• 関数解析および実解析関数の理論を用いて、L^p空間における到達可能集合の構造を分析する。
• パラメータ付きシステム族全体における軌道の均一L^p近似の概念を用いる。
• 実解析関数の一意性特性を応用し、パrameter空間の次元が1より大きい場合、到達可能集合が全L^p空間を張れないことを示す。
• 非自明なゼロ集合を有する実解析関数は測度ゼロの台を持つことを利用し、システムが任意の状態に到達できないことを示す。
• 次元が1より大きい多様体によってパラメータ化される線形アンサンブル系の文脈で議論を行う。
• 与えられた解析性および次元制約のもとで、可制御性作用素の像がL^pに稠密でないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パrameter化空間の次元が1より大きい場合、線形アンサンブル系はL^p可制御であるか？
• RQ2 システム行列がパラメータに実解析的依存を示す場合、可制御性に与える影響は何か？
• RQ3 高次元パrameter空間における線形アンサンブル系のL^p可制御性に根本的障害は存在するか？
• RQ4 2 ≤ p ≤ ∞において、到達可能集合がL^pに稠密でない条件は何か？
• RQ5 パrameter空間の次元と解析性が、可制御性をどのように制約するか？

主な発見

• パrameter化空間の次元が1より大きい場合、任意の実解析的線形アンサンブル系は2 ≤ p ≤ ∞に対してL^p可制御でない。
• この制限は、実解析関数の剛性に起因し、与えられた条件下でL^p空間における到達可能集合の稠密性を達成できない。
• システム行列の具体的な形に関わらず、パラメータに関して実解析的であれば、この結果は成り立つ。
• 可制御性の失敗はシステム構造の問題ではなく、解析性と高次元パrameter空間の相乗作用に起因する。
• L^pにおいて到達可能集合が稠密でないため、この設定では完全な可制御性は不可能である。
• この否定的結果により、高次元パrameter空間における実解析的線形アンサンブル系のL^p可制御性は理論的に不可能である明確な境界が示された。