[論文レビュー] Controlled objects in left-exact $\infty$-categories and the Novikov conjecture

Ulrich Bunke, Denis-Charles Cisinski+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 29被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、G-作用を伴う左完全 ∞-圏から、G-有界粗空間上の等変制御対象の圏を定義することで、等変粗ホモロジー理論を構成する。この構成を代数的 K-理論と合成することで、CP 条件を満たす新しいホモロジー理論が得られ、ノヴィコフ予想におけるアセンブリーマップの分解的単射性の証明が可能になる。主な貢献は、このような圏の K-理論が CP-関手を生じることを確立し、既知の事例を包含するとともに、ノヴィコフ条件を満たす関手の新たな例を提供することにある。

ABSTRACT

We associate to every $G$-bornological coarse space $X$ and every left-exact $\infty$-category with $G$-action a left-exact infinity-category of equivariant $X$-controlled objects. Postcomposing with algebraic K-theory leads to {new} equivariant coarse homology theories. This allows us to apply the injectivity results for assembly maps by Bunke, Engel, Kasprowski and Winges to the algebraic K-theory of left-exact $\infty$-categories.

研究の動機と目的

• G-作用を伴う左完全 ∞-圏から等変粗ホモロジー理論を一般に構成する枠組みを構築すること。
• このような圏の代数的 K-理論が、軌道圏上の関手として CP 条件を満たすことを確立すること。
• この構成を用いて、ノヴィコフ予想のアセンブリーマップの分解的単射性を証明すること。
• ホモトピー的かつ圏論的アプローチにより、既知のノヴィコフ予想の事例を統一・一般化すること。

提案手法

• 任意の G-有界粗空間 X に対して、G-等変 X-制御対象の左完全 ∞-圏を定義する。
• 左完全 ∞-圏における分数の計算および局所化技術を用いて、制御対象の圏を構成する。
• 局所化不変量として代数的 K-理論を適用し、G-有界粗空間の圏から安定 ∞-圏への関手を得る。
• 切除性、強い加法性、u-連続性の性質を用いて、軌道圏上の関手が CP 条件を満たすことを証明する。
• 有界導来圏の普遍性と A-理論を GOrb-スペクトルとしての構造を用いて、必要なホモロジー的性質を確立する。
• 単体的集合および位相空間のモデル構造を用いて、再帰的空間を ∞-圏におけるコンパクト対象への値をとる関手と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G-作用を伴う左完全 ∞-圏から、一般に等変粗ホモロジー理論を構成可能か？
• RQ2 このような圏の代数的 K-理論が、軌道圏上の関手として CP 条件を満たすか？
• RQ3 この構成から得られる関手がもたらす場合、ノヴィコフ予想のアセンブリーマップは分解的単射か？
• RQ4 ∞-圏における制御対象は、A-理論および K-理論における古典的構成とどのように関係するか？
• RQ5 有界導来圏の普遍性を用いて、得られるホモロジー理論を特徴づけられるか？

主な発見

• 左完全 ∞-圏における等変制御対象の構成は、粗い不変性、フラスク性、切除性を満たす関手を生じる。
• 得られる K-理論関手 KDG は CP 条件を満たし、これによりアセンブリーマップの分解的単射性が従う。
• 空間の A-理論は、有界導来圏の普遍性を用いて GOrb-スペクトルとして実現される。
• 空間 Q 上の有限支配的再帰的空間の圏は、Sing(Q) 上の単体的集合の局所化におけるコンパクト対象の全部分圏に同値である。
• 空間をその singular 複体上の単体的集合の局所化におけるコンパクト対象の ∞-圏に送る関手は、その反対圏から点付き空間への関手の ∞-圏に値をとる関手の左随伴関手に同値である。
• 有界導来圏の普遍性を用いて、得られる K-理論関手が、コンパクト射影的加群 Spccp∗ とのテンソル積に同値であることを示した。