[論文レビュー] Convergence in capacity on compact Kähler manifolds

Sławomir Dinew, Phạm Hoàng Hiệp|ArXiv.org|Apr 27, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、コンパクトなケーラー多様体上の Cegrell 級 $υ(X,\omega)$ の関数列について、容量における収束の下で鋭い安定性および収束結果を確立する。複素ポテンシャル論からの新しい推定と、$C_{X,\omega}$-容量に関する一様絶対連続性を活用することで、有界性や下界条件といった従来の仮定を除去した上で、$L^1$-収束と Monge-Ampère 測度の一様制御が容量における収束を示すことを証明する。

ABSTRACT

The aim of this note is to study the convergence in capacity for functions in the class $\mathcal E(X,ω)$. We obtain several stability theorems. Some of these are (optimal) generalizations of results of Xing, while others are new.

研究の動機と目的

• コンパクトなケーラー多様体上における Cegrell 級 $υ(X,\omega)$ の中での容量収束に対する最適な安定性定理を確立すること。
• Xing よりも Kołodziej による先行結果を一般化・鋭くし、一様下界や有界性といった技術的仮定を除去すること。
• $L^1$-収束と Monge-Ampère 測度の一様制御が、有界性がなくても容量収束を示すことを証明すること。
• $C_{X,\omega}$-容量に関する測度の一様絶対連続性が、容量収束における安定性に十分であることを示すこと。

提案手法

• $C_{X,\omega}$-容量を、Kołodziej が導入し、Guedj-Zeriahi が研究した、有界な $\omega$-psh 関数における Monge-Ampère 質量の上界による定義を用いる。
• Cegrell 級 $υ(X,\omega)$ を用いる。これは、Monge-Ampère 演算子が正しく定義され、全質量が保存される $\omega$-psh 関数からなる。
• 切り上げ技術を用いる：$u_{jt} = \max(u_j, -t)$、$u_t = \max(u, -t)$ を定義し、それらの容量収束を用いて特異性を制御する。
• Monge-Ampère 測度の比較原理を適用する：$T$ が $\omega$-psh カレントの積であるとき、$\int_{\{u \leq v\}} \omega_{\max(u,v)}^k \wedge T = \int_{\{u \leq v\}} \omega_u^k \wedge T$ が成り立つ。
• $C_{X,\omega}$-容量に関する $\omega_{v_j}^n$ の一様絶対連続性を適用し、容量が小さい集合が測度質量を小さく保つことを保証する。
• $u_j < u - \delta$ である集合における推定を組み合わせ、$\{u_j \leq -t\}$、$\{u \leq -t\}$、$\{v_j \leq -t\}$、$\{u_{jt} > u_t + \epsilon\}$ に分解し、容量の減少と測度の制御を併用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界性や一様下界の仮定なしに、$\u03c5(X,\omega)$ の関数列の容量収束を確立できるか？
• RQ2 $L^1$-収束と Monge-Ampère 測度の一様制御が、容量収束を示すために必要な条件は何か？
• RQ3 $C_{X,\omega}$-容量に関する Monge-Ampère 測度の一様絶対連続性が、安定性定理に与える影響は何か？
• RQ4 Xing よりも Kołodziej の安定性結果を、$\u03c5(X,\omega)$ 全体のクラスへどの程度一般化できるか？
• RQ5 切り上げ $\max(u_j, -t)$ は特異性の制御と容量収束の証明において果たす役割は何か？

主な発見

• 論文は、$u_j \to u$ が $L^1(X)$ で成り立ち、ある $A > 1$ に対して $\omega_{u_j}^n \leq A \omega_{v_j}^n$ であり、$v_j \to v$ が $C_{X,\omega}$ で成り立つならば、$u_j \to u$ が $C_{X,\omega}$ で成り立つことを証明する。有界性や下界仮定がなくても成立する。
• 鍵となる推定は、$\varlimsup_{j\to\infty} \int_{\{u_j < u - \delta\}} \omega_{u_j}^n \leq \sup_{j \geq 1} \int_{\{u_j \leq -t\} \cup \{u \leq -t\} \cup \{v_j \leq -t\}} \omega_{v_j}^n + \frac{2\epsilon}{\delta}$ であり、$t \to \infty$ および $\epsilon \to 0$ のとき 0 に近づく。
• $C_{X,\omega}$-容量に関する $\omega_{v_j}^n$ の一様絶対連続性により、固定された $t, \epsilon > 0$ に対して、$\int_{\{u_{jt} > u_t + \epsilon\}} \omega_{v_{jt}}^n \to 0$ が $j \to \infty$ のとき成り立つ。
• [$\text{Ce}3$] に依拠して、$\int_X (u_t - u_{jt}) \omega_{v_t}^n \to 0$ が $L^1$-収束と切り上げ制御に基づいて確立される。
• Hartogs の補題と切り上げの安定性により、$C_{X,\omega}(\{u_{jt} > u_t + \epsilon\}) \to 0$ が $j \to \infty$ のとき成り立つ。
• 結果は Xing (2005) の定理 5 および Kołodziej (2005) の定理 3.4 を一般化し、固定された下界関数 $v_0 \in \u03c5(X,\omega)$ が不要になる。