[論文レビュー] Convergence in Density of Splitting AVF Scheme for Stochastic Langevin Equation

Jianbo Cui, Jialin Hong+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非グローバルにモノトーンでない係数をもつ確率的ランジュヴィン方程式に対して、分割平均ベクトル場（AVF）スキームの密度収束を確立する。マリヤン・微積分を用いることで、数値解の密度の存在と滑らかさを証明し、その密度収束速度が、スキームの最適な強収束速度（1次、O(h)）と一致することを示している。

ABSTRACT

In this article, we study the density function of the numerical solution of the splitting averaged vector field (AVF) scheme for the stochastic Langevin equation. To deal with the non-globally monotone coefficient in the considered equation, we first present the exponential integrability properties of the exact and numerical solutions. Then we show the existence and smoothness of the density function of the numerical solution by proving its uniform non-degeneracy in Malliavin sense. In order to analyze the approximate error between the density function of the exact solution and that of the numerical solution, we derive the optimal strong convergence rate in every Malliavin--Sobolev norm of the numerical scheme via Malliavin calculus. Combining the approximation result of Donsker's delta function and the smoothness of the density functions, we prove that the convergence rate in density coincides with the optimal strong convergence rate of the numerical scheme.

研究の動機と目的

• 非グローバルにモノトーンでない係数と退化するノイズをもつ確率的ランジュヴィン方程式に適用された数値スキームの密度収束に関する理論的結果の不足に応えること。
• 分割AVFスキームの数値解が、正確な解の密度関数の滑らかさを継承するかどうかを調査すること。
• 非グローバルにモノトーンでない係数条件の下で、正確な解と数値解の密度関数間の収束速度を確立すること。
• 非線形性が複雑なSDEの強収束と密度収束の間のギャップを埋めること。

提案手法

• 非グローバルにモノトーンでない係数に対処するため、正確解および数値解の指数的可積分性を導出する。
• マリヤン・微積分を用いて、数値解のマリヤン・共分散行列の一様非退化性を証明し、密度の存在と滑らかさを保証する。
• マリヤン・微積分の技術を用いて、すべてのマリヤン–ソボレフノルムにおいて最適な強収束速度を確立する。
• ドンスカーのデルタ関数近似を用いて、密度収束を強収束速度に関連付ける。
• 数値解のマリヤン・共分散行列の最小固有値がゼロから一様に離れていることを証明し、一様非退化性を保証する。
• マリヤン–ソボレフ空間における数値解の正則性推定と、共分散行列の逆行列のモーメントの上限を組み合わせる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非グローバルにモノトーンでない係数をもつ確率的ランジュヴィン方程式に対する分割AVFスキームは、定義された密度関数をもつ数値解を生成するか？
• RQ2 ホルマンダー型条件の下で、数値解の密度は正確な解の密度の滑らかさを継承するか？
• RQ3 正確な解と数値解の密度関数間の収束速度は何か？
• RQ4 密度収束がスキームの最適な強収束速度に一致することを示せるか？
• RQ5 指数的可積分性とマリヤン正則性は、非線形成長の存在下で密度収束を証明するためにどのように寄与するか？

主な発見

• 数値解のマリヤン・共分散行列の一様非退化性のおかげで、分割AVFスキームの数値解は滑らかな密度関数をもつ。
• マリヤン・共分散行列の逆行列はすべてのモーメントを持つため、密度はL^∞−で有界で滑らかである。
• 正確な解と数値解の密度関数間の収束速度がO(h)であることが証明され、これはスキームの最適な強収束速度と一致する。
• 非グローバルにモノトーンな係数のもとでも結果が成り立つため、従来のグローバルリプシッツまたは有界係数に限られた結果を拡張する。
• 数値実験により、O(h)の平均二乗収束速度が確認され、理論的結果の妥当性が裏付けられる。
• 分析は、新規に組み合わされた指数モーメント推定、マリヤン・微積分、ドンスカーのデルタ関数近似に依存している。