[論文レビュー] Convergence of an Euler discretisation scheme for the Heston stochastic-local volatility model with CIR interest rates

Andrei Cozma, Christoph Reisinger|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2015

Stochastic processes and financial applications被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、為替市場におけるHeston-CIR確率局所ボラティリティモデルに対して、完全切断Eulerスキームを提案し、完全相関および現実的なレバレッジ関数の仮定の下で為替レートの近似の強収束と、平方根過程の指数的積分可能性を証明する。主な貢献は、バニラオプションおよびパス依存オプションのモンテカルロ推定量の厳密な収束である。

ABSTRACT

We consider the Heston-CIR stochastic-local volatility model in the context of foreign exchange markets, which contains both a stochastic and a local volatility component for the exchange rate combined with the Cox-Ingersoll-Ross dynamics for the domestic and foreign interest rates. We study a full truncation scheme for simulating the stochastic volatility component and the two interest rates and derive the exponential integrability of full truncation Euler approximations for the square root process. Under a full correlation structure and a realistic set of assumptions on the so-called leverage function, we prove strong convergence of the exchange rate approximations and then deduce the convergence of Monte Carlo estimators for a number of vanilla and path-dependent options.

研究の動機と目的

• 為替市場におけるHeston-CIR確率局所ボラティリティモデルに対するEuler離散化スキームの強収束を確立すること。
• 確率的ボラティリティおよび金利を支配する平方根過程に対する完全切断Euler近似の指数的積分可能性を分析すること。
• 完全相関構造の下で、バニラおよびパス依存オプションのモンテカルロ推定量の収束を検証すること。
• 確率的ボラティリティ、局所ボラティリティ、CIR金利を組み合わせたモデルにおける数値的価格評価の厳密な数学的基盤を提供すること。
• 既存の収束結果を現実的なレバレッジ関数およびすべての確率的ドライバー間の完全相関を含むモデルへと拡張すること。

提案手法

• CIRダイナミクスに従う確率的ボラティリティおよび2つの金利プロセスを離散化するために、完全切断Eulerスキームを適用する。
• 平方根過程に対する完全切断Euler近似の指数的積分可能性を確立し、収束のための重要な技術的要件を満たす。
• 為替為替レート、確率的ボラティリティ、および国内・外国金利の間で完全相関構造を課す。
• スキームの安定性および収束を保証するため、レバレッジ関数に関する現実的な仮定を設定する。
• 為替レート近似の強収束を用いて、オプション価格のモンテカルロ推定量の収束を導出する。
• 伊藤積分とモーメントバウンドを用いて離散化誤差を分析し、指定された条件下でのパスワイズ収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所ボラティリティおよび相関する確率的ドライバーを有するHeston-CIRモデルに対して、完全切断Eulerスキームは強収束するか？
• RQ2 CIRプロセスに対する完全切断Euler近似の指数的積分可能性を保証するためのレバレッジ関数の条件は何か？
• RQ3 完全相関構造の下で、バニラおよびパス依存オプションのモンテカルロ推定量の収束を厳密に確立できるか？
• RQ4 完全切断スキームは、CIR金利および分散プロセスの正値性と安定性をどのように維持するか？
• RQ5 相関構造は、スキームの収束速度および数値的安定性にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 完全切断Eulerスキームは、完全相関構造および現実的なレバレッジ関数の仮定の下で、為替レート近似の強収束を保証する。
• CIRプロセスに対する完全切断Euler近似の指数的積分可能性は厳密に証明され、モーメント制御と収束解析を可能にする。
• バニラおよびパス依存オプションのモンテカルロ推定量の収束は、為替レート近似の強収束から導出される。
• 完全切断技術により、金利および分散プロセスの数値的安定性と正値性が維持される。
• 理論的枠組みは、完全相関下でも、局所ボラティリティを有するHeston-CIRモデルにおける信頼性のあるオプション価格評価を支援する。
• 結果として、Eulerスキームの適用範囲は、複数の確率的成分と現実的なダイナミクスを有する複雑な為替モデルへと拡張される。