[論文レビュー] Convergence of depths and depth-trimmed regions

Rainer Dyckerhoff|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2016

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 26被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、経験的データデプスおよびデプストリム領域が、一般の条件下で母集団に対応するものにほとんど確実に収束することを確立する。深さ関数の点別または一様収束が、ハウスドルフ距離におけるトリム領域の対応する収束を示し、逆にその逆も成り立つことを、ややきつい正則性条件のもとで証明し、Dyckerhoffの公理を満たすすべての深さ関数に対して、分布の制限なしに深さに基づく統計的手法の基礎的一貫性結果を提供する。

ABSTRACT

Depth is a concept that measures the `centrality' of a point in a given data cloud or in a given probability distribution. Every depth defines a family of so-called trimmed regions. For statistical applications it is desirable that with increasing sample size the empirical depth as well as the empirical trimmed regions converge almost surely to their population counterparts. In this article the connections between different types of convergence are discussed. In particular, conditions are given under which the pointwise (resp. uniform) convergence of the data depth implies the pointwise (resp. compact) convergence of the trimmed regions in the Hausdorff metric as well as conditions under which the reverse implications hold. Further, it is shown that under relative weak conditions the pointwise convergence of the data depth (resp. trimmed regions) is equivalent to the uniform convergence of the data depth (resp. compact convergence of the trimmed regions).

研究の動機と目的

• 経験的デプスおよびデプストリム領域が母集団に対応するものにほとんど確実に収束するための一般の条件を確立すること。
• ハウスドルフ距離における深さ関数の収束とトリム領域の収束の関係を明確にすること。
• ややきつい正則性条件下で、深さまたは領域の点別収束がそれぞれ一様収束またはコンパクト収束を示すことの意味を示すこと。
• 従来の結果を、楕円対称性や単峰性といった制限的な仮定を排除することで拡張すること。
• Dyckerhoffの公理を満たすすべての深さ関数に対して、深さに基づく統計的手法の一貫性を統一的枠組みで提供すること。

提案手法

• 本稿は、Dyckerhoffの公理を満たす関数として深さを定義し、すべての標準的深さタイプに一般適用可能であることを保証する。
• ハウスドルフ距離を用いてトリム領域の収束を形式化し、集合収束の厳密な位相的解析を可能にする。
• 理論的結果は、ユークリッド空間におけるコンパクト集合、連続性、および入れ子の性質に基づいて導出される。
• 主な証明は、$ε$-近傍の振るまいと、ハウスドルフ収束が集合の互いの$ε$-近似に等価であることを利用している。
• 点別収束、一様収束、コンパクト収束の区別を行い、それらの間の含意関係と等価性を確立する。
• 補足例は、収束結果が成り立つために連続性および厳密単調性の仮定が必要不可欠であることを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 経験的深さ関数の点別収束が、対応するデプストリム領域のハウスドルフ収束を示す条件は何か？
• RQ2 深さ関数の一様収束が、トリム領域のコンパクト収束を示す条件は何か？ 逆に、コンパクト収束が一様収束を示す条件は何か？
• RQ3 点別収束が深さまたは領域に対して成り立つ条件は何か？ それぞれ、一様収束またはコンパクト収束にどのように関連するか？
• RQ4 深さ関数の連続性および厳密単調性は、トリム領域の収束にどのように影響するか？
• RQ5 分布の仮定なしに、一般の深さ定義のもとで、深さとトリム領域の収束結果は等価か？

主な発見

• 経験的深さ関数が母集団深さ関数に点別収束するならば、対応するデプストリム領域はハウスドルフ距離において点別収束する。
• 深さ関数の一様収束は、ハウスドルフ距離におけるデプストリム領域のコンパクト収束を示す。
• ややきつい正則性条件下で、深さまたは領域の点別収束は、それぞれ一様収束またはコンパクト収束と等価である。
• 楕円対称性、単峰性、有界密度の仮定なしに、深さと領域の収束の等価性が成り立つ。
• 結果は一般性に富み、半空間、単体、射影、ゾノイド深さを含む、Dyckerhoffの公理を満たすすべての深さ関数に適用可能である。
• 補足例は、主な収束定理が成り立つために連続性および厳密単調性の仮定が不可欠であることを確認している。