[論文レビュー] Convergence of interaction-driven evolutions of dislocations with Wasserstein dissipation and slip-plane confinement

Maria Giovanna Mora, Mark A. Peletier+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2014

Composite Material Mechanics参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、n 個の並列なエッジ型不純物が1つの滑らか面に閉じ込められた系について、n → ∞ の極限における準静的・率に依存しない進化の収束を、滑らか面への拘束を反映した修正 Wasserstein 距離と正規化された弾性エネルギーの Γ-収束を用いて厳密に確立する。主な結果は、離散的不純物力学から滑らか面に制限された散逸と弾性力のバランスで記述される連続体的進化への収束である。

ABSTRACT

We consider systems of $n$ parallel edge dislocations in a single slip system, represented by points in a two-dimensional domain; the elastic medium is modelled as a continuum. We formulate the energy of this system in terms of the empirical measure of the dislocations, and prove several convergence results in the limit $n o\infty$. The main aim of the paper is to study the convergence of the evolution of the empirical measure as $n o\infty$. We consider rate-independent, quasi-static evolutions, in which the motion of the dislocations is restricted to the same slip plane. This leads to a formulation of the quasi-static evolution problem in terms of a modified Wasserstein distance, which is only finite when the transport plan is slip-plane-confined. Since the focus is on interaction between dislocations, we renormalize the elastic energy to remove the potentially large self- or core energy. We prove Gamma-convergence of this renormalized energy, and we construct joint recovery sequences for which both the energies and the modified distances converge. With this augmented Gamma-convergence we prove the convergence of the quasi-static evolutions as $n o\infty$.

研究の動機と目的

• . 準静的・率に依存しない滑らか面に閉じ込められたエッジ型不純物の進化に対する連続体極限を厳密に導出すること。
• . 滑らか面への拘束を強制する修正 Wasserstein 距離を定式化し、滑らか面に制限された輸送計画に対してのみ有限な散逸を保証すること。
• . 発散する自己エネルギー寄与を除去する正規化された弾性エネルギー関数の Γ-収束を証明すること。
• . エネルギーと散逸の両方の同時収束を保証する共同回復列を構築し、全進化の収束を可能にすること。
• . 離散的不純物進化が、滑らか面に制限された散逸と弾性力のバランスで記述される連続体的進化に収束することを確立すること。

提案手法

• . n 個の不純物を単位質量にスケーリングした測度 µ ∈ P(Ω) で表現する。
• . 不純物コアの周りの循環積分を用いて、不適合条件を満たすひずみ場 β ∈ L²(Ω; R²×²) を用いて弾性エネルギーを定義する。
• . 各不純物の周囲に小さな球 Bεn(zi) を除くコア除去正則化を導入し、領域 Ωn(µ) を得る。
• . 発散する O(n|log εn|) の自己エネルギー寄与を除去するため、エネルギーを正規化する。
• . 滑らか面に制限された輸送計画に対してのみ有限となる修正 Wasserstein 距離 D(µ, ν) を導入し、不純物運動の物理的制約を捉える。
• . 正規化エネルギーと修正散逸距離の共同 Γ-収束を、エネルギーと距離の両方で収束する回復列を用いて証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 . n 個の不純物の準静的進化は、n → ∞ の極限で明確に定義された連続体極限に収束するか？
• RQ2 . 滑らか面への拘束を強制し、物理的に許容可能な進化に対して有限な散逸をもたらす修正 Wasserstein 距離を構築できるか？
• RQ3 . 発散する自己エネルギー寄与があるにもかかわらず、正規化された弾性エネルギーは多数不純物極限で Γ-収束するか？
• RQ4 . エネルギーと修正散逸距離の両方が同時に収束するように、共同回復列を構築できるか？
• RQ5 . その結果得られる連続体的進化は、滑らか面に制限された散逸とエネルギーの第一変分のバランスを満たすか？

主な発見

• . 正規化された弾性エネルギー Fn(µ) は、自己エネルギーの発散を除去した不純物密度間の相互作用エネルギーを含む極限エネルギー関数に Γ-収束する。
• . 滑らか面に制限された輸送計画に対してのみ有限となる修正 Wasserstein 距離は、準静的進化の正しい散逸距離であることが示された。
• . 正規化エネルギーと修正散逸距離の両方の収束を保証する共同回復列が存在する。
• . 離散的準静的進化は、エネルギーの第一変分と滑らか面に制限された散逸力のバランスで記述される連続体的進化に収束する。
• . 極限進化は、速度場 φ(t, x) がエネルギーの第一変分の負の勾配と一致し、不純物密度に関して almost everywhere で |∂x1 δF/δµ| ≤ 1 を満たすという条件を満たす。
• . 極限収束は、εn → 0、rn → 0、εn/rn³ → 0、および rnn → 0 というスケーリング仮定のもとで成立し、コア効果の除去と不純物の分離を保証する。