[論文レビュー] Convergence of Kaehler-Ricci flow with integral curvature bound

Fuquan Fang, Yuguang Zhang|ArXiv.org|Jul 24, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、曲率作用素の局所 $ L^n $-ノルムに積分的制約を課した下で、正の第一チャーン類をもつコンパクトなケーラー多様体上のケーラー・リッチフローの、Gromov-Hausdorff収束を確立する。その極限は、有限個の特異点を持つコンパクトなオーロリフであり、特異点を除く領域では極限計量がケーラー・リッチソリトン方程式を満たす。これは、一様なリッチ曲率の有界性を仮定する必要のない、先行研究の一般化である。

ABSTRACT

Let $g(t)$, $t\in [0, +\infty)$, be a solution of the normalized Kähler-Ricci flow on a compact Kähler $n$-manifold $M$ with $c_{1}(M)>0$ and initial metric $g (0)\in 2πc_{1}(M)$. If there is a constant $C$ independent of $t$ such that $$ \int_{M}|Rm(g(t))|^{n}dv_{t}\leq C,$$ then, for any $t_{k} o \infty$, a subsequence of $(M, g(t_{k}))$ converges to a compact orbifold $(X, h)$ with only finite many singular points $\{q_{j}\}$ in the Gromov-Hausdorff sense, where $h$ is a Kähler metric on $X\backslash \{q_{j}\}$ satisfying the Kähler-Ricci soliton equation, i.e. there is a smooth function $f$ such that $$Ric(h)-h= abla\bar{ abla}f, { m and}\it abla abla f=\bar{ abla} \bar{ abla} f=0. $$

研究の動機と目的

• 正の第一チャーン類 $ c_1(M) > 0 $ をもつコンパクトケーラー多様体上での正規化されたケーラー・リッチフローの長時間挙動を、一様なリッチ曲率の有界性よりも弱い曲率仮定のもとで研究すること。
• 曲率作用素の $ L^n $-ノルムが時間にわたって一様に有界であるとき、有限個の特異点を持つオーロリフ極限への収束を確立すること。
• 一様なリッチ曲率制御がない状況においても、極限計量が正則部分にケーラー・リッチソリトン方程式を満たすことを示すこと。
• Sesum と Tian の先行結果を一般化し、一様なリッチ曲率の有界性の代わりに曲率作用素の $ L^n $-可積分性条件を用いること。

提案手法

• 曲率作用素の $ L^n $-ノルム制御と $ \kappa $-非収縮性を用いて、調和半径の下界を確立し、[2] の結果をケーラー・リッチフロー設定に拡張すること。
• $ \kappa $-非収縮性と体積比較を用いて、フローの幾何を制御し、曲率の集中を防ぐこと。
• Gromov-Hausdorff のコンパクトネス定理を用いて、$ (M, g(t_k)) $ の部分列が、有限個の特異点を持つ極限オーロリフ $ (X, h) $ に収束することを抽出すること。
• スケーリングされたフローの解析と $ C^{1,\alpha} $ および弱 $ L^{2,n} $ 位相における収束を用いて、$ X \setminus \{q_j\} $ 上の極限計量 $ h $ がケーラー・リッチソリトン方程式を満たすことを証明すること。
• リッチフローのコンパクトネス定理とソリトン解の構造を用いて、極限計量が正則部分上でケーラー・リッチソリトンであることを示すこと。
• 特異点球の半径 $ r \to 0 $ のときの対角列をとることで、ソリトン方程式をオーロリフの正則部分全体に拡張すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の第一チャーン類 $ c_1(M) > 0 $ をもつコンパクトケーラー多様体上での正規化されたケーラー・リッチフローが、Gromov-Hausdorff 収束するための条件は何か？
• RQ2 一様なリッチ曲率の有界性を仮定しない状況でも、極限オーロリフの正則部分上でケーラー・リッチソリトンへの収束を確立できるか？
• RQ3 曲率作用素の $ L^n $-ノルムが、フローの長時間挙動における幾何と位相を制御する役割を果たす仕組みは何か？
• RQ4 $ \kappa $-非収縮性と $ L^n $-曲率有界性が、非収縮極限の存在を保証するためにどのように作用するか？
• RQ5 極限オーロリフの正則部分におけるソリトン構造を、対角化法によって全領域に拡張できるか？

主な発見

• 任意の列 $ t_k \to \infty $ に対して、$ (M, g(t_k)) $ の部分列が、曲率作用素の $ L^n $-有界性のもとで、有限個の特異点 $ \{q_j\} $ をもつコンパクトなオーロリフ $ (X, h) $ に Gromov-Hausdorff 収束する。
• 特異点を除く領域 $ X \setminus \{q_j\} $ 上の極限計量 $ h $ は、ケーラー計量であり、ケーラー・リッチソリトン方程式 $ \mathrm{Ric}(h) - h = \nabla\bar{\nabla}f $ を満たす。ここで $ f $ は滑らかな関数で、$ \nabla\nabla f = \bar{\nabla}\bar{\nabla}f = 0 $ を満たす。
• $ \kappa $-非収縮性と $ L^n $-曲率有界性から、特異点から離れた領域で注入半径に一様な下界が得られ、リッチフローのコンパクトネス定理の適用が可能になる。
• 極限計量 $ h $ は特異点を除いて $ C^{1,\alpha} $-正則であり、全オーロリフ上で $ C^0 $-オーロリフ計量に拡張される。
• スケーリングされたフロー $ \tilde{g}_k(\tilde{t}) $ の収束から、極限計量が正則部分の収小近傍でケーラー・リッチソリトン方程式を満たすことが従う。
• 近傍半径 $ r \to 0 $ のときの対角列をとることで、ソリトン方程式が正則部分 $ X \setminus \{q_j\} $ 全体に拡張され、グローバルなソリトン構造が確認される。