[論文レビュー] Convergence of random walks to Brownian motion on cubical complexes

Tom M. W. Nye|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 29被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、立方体複体上のランダムウォークが極限においてブラウン運動に収束することを確立し、階層的空間における統計的推論の計算的に取り扱いやすい近似を提供する。標準立方体へのブラウン運動のパスの射影と、立方体の境界を尊重する反射に基づくランダムウォークアルゴリズムを用いて、著者たちは遷移核の収束を証明し、進化木空間のような複雑な空間における統計的モデリングを可能にする。

ABSTRACT

Cubical complexes are metric spaces constructed by gluing together unit cubes in an analogous way to the construction of simplicial complexes. We construct Brownian motion on such spaces, define random walks, and prove that the transition kernels of the random walks converge to that for Brownian motion. The proof involves pulling back onto the complex the distribution of Brownian sample paths on the standard cube, and combining this with a distribution on walks between cubes in the complex. The main application lies in analysing sets of evolutionary trees: several tree spaces are cubical complexes and we briefly describe our results and some applications in this context. Our results extend readily to a class of polyhedral complex in which every cell of maximal dimension is isometric to a given fixed polyhedron.

研究の動機と目的

• 進化生物学やデータ解析でますます利用されている立方体複体における統計的推論のための取り扱いやすい確率過程の開発。
• 階層的空間における確率分布の正規化定数が計算不能であるという課題を、マルコフ過程の遷移核を用いることで解決すること。
• 離散的ランダムウォークと連続的ブラウン運動との間の立方体複体上での収束に関する厳密な結果の確立。
• 各最大次元セルが固定された多面体に等長であるような多面体複体のクラスへの枠組みの拡張。
• 非ユークリッド的で階層的な空間、例えばBHV木空間のような空間における平均や分散といった統計的モデルの構築の基盤の提供。

提案手法

• 各立方体内でユークリッドブラウン運動を拡張し、共有されるcodimension-1の面を介して一様に遷移できるようにすることで、立方体複体上でのブラウン運動を定義する。
• 方向ベクトルδに従って移動し、境界で反射して隣接する立方体へ等確率で移動するランダムウォークアルゴリズムを構築する。
• 複体から標準立方体へブラウン運動のサンプルパスを引き戻す射影写像Pを用い、測度の転送と明示的な核の構築を可能にする。
• 引き戻し測度と無限回の境界通過の詳細な解析を用いて、ランダムウォークの遷移核がブラウン運動の遷移核に収束することを証明する。
• 各最大次元セルが固定された多面体に等長であるような多面体複体のクラスに結果を一般化し、解析的制御を保つ対称性を維持する。
• 無限回の境界通過に起因する技術的課題を、複体の構造と確率的カップリング技法を活用することで処理する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 立方体複体上のランダムウォークを、その遷移核がブラウン運動のそれと収束するように構築できるか？
• RQ2 非自明な階層構造と境界相互作用を有する立方体複体上でのブラウン運動を、厳密に定義できるか？
• RQ3 初期点の位置（例えば、内部またはcodimension-2の面）が、ランダムウォークのブラウン運動への収束に与える影響は何か？
• RQ4 この収束結果を立方体複体を超えたより一般的な多面体複体へどの程度まで拡張できるか？
• RQ5 この枠組みは、BHV木空間のような非ユークリッド的で階層的な空間における統計的モデル（例えば、フレシェ平均や分散）の構築を支援できるか？

主な発見

• 提案されたランダムウォークの遷移核が、立方体複体上でのブラウン運動の遷移核に収束することを示し、離散的・連続的確率過程の間の根本的な関係を確立した。
• 初期点が最大次元の立方体の内部にある場合に収束が成立し、codimension-2の面を除き、より低い次元の面に対しても拡張可能である。ただし、その場合、射影写像が非標準的になる。
• 測度を複体から標準立方体へ引き戻す写像Pを用いた引き戻し構成に依存しており、これにより明示的な核の計算が可能になる。
• ランダムウォークアルゴリズムはcodimension-1の境界で反射し、隣接する立方体へ等確率で移動するよう設計されており、ジャングルクションにおけるブラウン運動の挙動を模倣する。
• 各最大次元セルが固定された多面体に等長であるような多面体複体のクラスへ結果を一般化できるが、一般の単体的複体への拡張は、対称性の欠如のため困難である。
• 階層的空間、例えば進化木空間における統計的推論の基盤を提供する。これは、パrametricモデルとして取り扱いやすい遷移核の使用を可能にする。