[論文レビュー] Convergence of SDP hierarchies for polynomial optimization on the hypersphere

Andrew C. Doherty, Stephanie Wehner|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 8被引用数 37

ひとこと要約

この論文は、対称行列に対する実数値のデ・フィネッティの定理を導入することで、同次多項式をハイパースフィア上で最適化するための半定値計画（SDP）階層の収束を確立する。球面調和関数と$P$-$Q$表現を用いて、レベル$\ell$におけるSDP緩和が相対誤差$\epsilon(a,\ell,n) \sim a^2n/\ell$の範囲で真の最適値を近似することを証明し、明示的な誤差境界と解のための構成的近似表現測度を提供する。

ABSTRACT

We show how to bound the accuracy of a family of semi-definite programming relaxations for the problem of polynomial optimization on the hypersphere. Our method is inspired by a set of results from quantum information known as quantum de Finetti theorems. In particular, we prove a de Finetti theorem for a special class of real symmetric matrices to establish the existence of approximate representing measures for moment matrix relaxations.

研究の動機と目的

• 同次多項式をハイパースフィア$S^{n-1}$上で最適化するための半定値計画（SDP）階層の収束を確立すること。
• 有限レベル$\ell$におけるSDP緩和の近似精度について、明示的かつ定量的な誤差境界を提供すること。
• $P$-および$Q$-表現を用いて、モーメント行列の近似表現測度を構成的に得る手法を開発すること。
• 量子情報に由来するデ・フィネッティの定理を、多項式最適化の文脈に適応して実対称行列へ一般化すること。
• 次数$2a$の多項式に対して、SDP階層が$\epsilon \sim a^2n/\ell$の誤差で$(1 - \epsilon)$-近似を達成することを示すこと。

提案手法

• 球面調和関数とフーリエ係数を用いてモーメント行列を分析することで、対称行列に対する実数値のデ・フィネッティの定理を導出する。
• 多項式行列の$P$-および$Q$-表現を導入し、SDP解が球面上の点の凸結合に対応することを関連付ける。
• ファンク＝フェッケの公式と対称部分空間における直交分解を用いて、$P_M(x)$と$Q_M(x)$を比較し、$Q_M(x)$の非負性を保証する。
• フーリエ係数の一致を用いて、$P_M(x)$と$Q_M(x)$のフーリエ係数を一致させることで、明示的な近似表現測度を構成し、誤差解析を可能にする。
• ユニタリ群および直交群の表現論を用いて、対称部分空間と次数$2a$の多項式のモーメント行列を分析する。
• レベル$\ell$の緩和と真の最適値との比較により誤差境界を確立し、$\epsilon(a,\ell,n) = \frac{4a^2(a + n/2 - 1)}{2\ell + n}$を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハイパースフィア上での多項式最適化におけるSDP階層が、明示的な誤差境界を伴って収束することを証明できるか？
• RQ2 多項式最適化におけるモーメント行列に対して、デ・フィネッティ型の定理を実対称行列にどのように適応できるか？
• RQ3 $P$-および$Q$-表現の間の関係は何か？ そして、これにより表現測度を構成するにはどうすればよいか？
• RQ4 $\ell$-番目のレベルにおけるSDP緩和の近似誤差を、多項式の次数$a$、次元$n$、緩和レベル$\ell$の関数として境界づけることができるか？
• RQ5 SDP解を球面上の評価のアフィン結合として解釈できるか？ もしそうなら、どの程度の精度で可能か？

主な発見

• SDP階層は、ハイパースフィア$S^{n-1}$上での同次多項式$T(x)$の真の最適値$\nu$に収束し、誤差は$|\nu_\ell - \nu| \leq \epsilon(a,\ell,n)(\nu - \nu_{\text{min}})$で抑えられる。
• 相対誤差は$\epsilon(a,\ell,n) = \frac{4a^2(a + n/2 - 1)}{2\ell + n}$として定量的に評価され、$\ell$に対して逆比例の依存関係を示す。
• 偶数次多項式の場合、この境界は$(1 - \epsilon)$-近似を意味し、$\ell$が大きいとき$\epsilon \sim a^2n/\ell$となる。
• 所望の精度$\epsilon$を達成するには、必要な緩和レベル$\ell$が$\ell \sim a^2n/\epsilon$に比例する必要があり、これにより次元$n$に関して指数関数的スケーリングが生じる。
• 本手法により、$P$-および$Q$-表現を用いて、球面上の点の凸結合として明示的な近似表現測度が構成可能である。
• 球面調和関数解析とファンク＝フェッケの公式に類似した畳み込み定理を用いることで、本アプローチは他のリーマン球対称空間へ一般化可能である。