[論文レビュー] Convergence of some Mean Field Games systems to aggregation and flocking models

Martino Bardi, Pierre Cardaliaguet|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2020

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 38被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、割引率 λ→∞ および制御コストが消える極限において、2種類の平均場ゲーム（MFG）系が集積および群れ形成モデルに収束することを確立する。可視性が消える2次MFGでは解が集積方程式に収束し、加速度に関する1次MFGでは解が運動論的Cucker-Smaleモデルに収束する。極限における力学は、極限でのエージェント密度の下での走行コストの勾配降下として現れる。

ABSTRACT

For two classes of Mean Field Game systems we study the convergence of solutions as the interest rate in the cost functional becomes very large, modeling agents caring only about a very short time-horizon, and the cost of the control becomes very cheap. The limit in both cases is a single first order integro-partial differential equation for the evolution of the mass density. The first model is a 2nd order MFG system with vanishing viscosity, and the limit is an aggregation equation. The result has an interpretation for models of collective animal behaviour and of crowd dynamics. The second class of problems are 1st order MFGs of acceleration and the limit is the kinetic equation associated to the Cucker-Smale model. The first problem is analyzed by PDE methods, whereas the second is studied by variational methods in the space of probability measures on trajectories.

研究の動機と目的

• MFG系における合理的で無知的なエージェントのヒューリスティックな収束を、集積や群れ形成のような集団行動モデルへ厳密に裏付けること。
• 可視性が消え、割引率が大きい（λ→∞）極限における2次MFG系の極限を分析し、集積方程式への収束を示すこと。
• 同じ漸近的状態の下で加速度に基づく1次MFGを研究し、運動論的Cucker-Smaleモデルへの収束を証明すること。
• [21]および[8]の先行ヒューリスティック結果を統合・拡張し、可視性の消滅と無限時間枠組みを組み込むこと。
• 集積の場合には偏微分方程式（PDE）手法を用い、Cucker-Smaleの場合には測度空間における変分法を用いて収束を確立すること。

提案手法

• 可視性 νλ→0+ で大きな割引 λ→∞ を持つ2次MFG系を定式化し、ハミルトン＝ジャコビ＝ベルマン方程式とフォッカー＝プランク型連続方程式を用いる。
• PDE技法とコンパクト性の議論を用いて、MFG解 (uλ, mλ) が集積方程式 ∂tm − div(m DxF(x,m)) = 0 の解 m に収束することを証明する。
• 最適フィードバック −λDuλ を分析し、ほとんど everywhere で −DxF(·,m) に収束することを示し、これは極限でのエージェント密度の下での走行コストの勾配降下を表す。
• 加速度に基づくMFGに対しては、軌道上の確率測度空間における変分的定式化を用い、時間積分された作用関数を最小化する。
• 軌道上の測度族のtightnessおよび相対的コンパクト性を確立し、極限がCucker-Smale運動論方程式の解として特定されることを示す。
• オイラー＝ラグランジュ方程式と部分積分を用いて極限力学を導出し、[10]の既知の結果を用いて解の一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可視性が消え、割引率が大きい（λ→∞）2次MFG系が、どのような条件下で集積方程式に収束するか？
• RQ2 無知的MFG状態（λ→∞）における最適フィードバック制御は、極限での走行コストの勾配降下とどのように関係するか？
• RQ3 制御コストが消え、割引率が大きい極限において、加速度に基づく1次MFGは運動論的Cucker-Smaleモデルに収束できるか？
• RQ4 可視性の消滅（νλ→0+）は、MFG解が非拡散的集団モデルに収束する過程で果たす役割は何か？
• RQ5 提案された漸近的状態下で、Cucker-Smale方程式の測度値解は一意的か？

主な発見

• λ→∞ かつ νλ→0+ の下で、2次MFG系の解 mλ は、方程式 ∂tm − div(m DxF(x,m)) = 0 の解 m に収束する。
• 最適フィードバック制御 −λDuλ は、ほとんど everywhere で −DxF(·,m) に収束し、これは極限でのエージェント密度の下での走行コストの勾配降下を表す。
• 加速度に基づくMFGでは、極限力学がCucker-Smale運動論方程式によって記述され、軌道は2階常微分方程式 ¨γ(t) = −DvF(γ(t), ˙γ(t), m(t)) を満たす。
• 極限測度 m は、初期分布 m0 をCucker-Smale力学の流れで押し出したものに一致し、初期条件によって一意に定まる。
• 収束は部分列に沿って成立し、極限の一意性より、全列 (mλ) が極限方程式の解に収束することが保証される。
• 本結果は、無知的で制御コストのないエージェントの極限における、集積および群れ形成モデルのヒューリスティック導出を厳密に裏付ける。