[論文レビュー] Convergence Rate of Euler-Maruyama Scheme for SDEs with Rough Coefficients

Jianhai Bao, Xing Huang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非退化および退化する場合を含む粗い係数をもつ確率的微分方程式（SDE）に対するEuler-Maruyamaスキームの収束速度を確立する。非退化および退化Kolmogorov方程式の正則性と正則化性を活用し、Dini連続性およびHölder-Dini連続性の条件下で、$L^2$ノルムにおける収束速度$ abla^{1/2}$を証明する。これは、LipschitzまたはHölder連続係数に限らない結果の拡張である。

ABSTRACT

In this paper, we are concerned with convergence rate of Euler-Maruyama scheme for stochastic differential equations with rough coefficients. The key contributions lie in (i), by means of regularity of non-degenerate Kolmogrov equation, we investigate convergence rate of Euler-Maruyama scheme for a class of stochastic differential equations, which allow the drifts to be Dini-continuous and unbounded; (ii) by the aid of regularization properties of degenerate Kolmogrov equation, we discuss convergence rate of Euler-Maruyama scheme for a range of degenerate stochastic differential equations, where the drift is locally Hölder-Dini continuous of order $\frac{2}{3}$ with respect to the first component, and is merely Dini-continuous concerning the second component.

研究の動機と目的

• 不規則（粗い）係数をもつSDEにおけるEuler-Maruyamaスキームの収束速度を分析すること、特にドリフト項がLipschitzまたはHölder連続でない場合を対象とすること。
• 拡散行列が特異である可能性がある退化SDEに対しても収束速度の結果を拡張すること。
• Hölder-Dini連続性およびDini連続性の条件を用いて収束を確立し、Hölder連続でないが依然として正則な関数を含むこと。
• 従来の文献が通常、有界またはHölder連続なドリフトを仮定しているという制限を克服し、より広いクラスのSDEをカバーすること。
• PDEに基づく技術を用いて、不規則係数をもつSDEにおける数値解法の厳密な理論的基盤を構築すること。

提案手法

• 非退化Kolmogorov方程式の正則性理論を用いて、Dini連続および有界でないドリフトをもつ非退化SDEの収束を分析する。
• 退化Kolmogorov方程式の正則化性を応用し、拡散行列が退化しているSDEを扱う。
• Zvonkin型変換および熱核推定を用いて、Euler-Maruyama近似の誤差を制御する。
• 伊藤の公式およびテイラー展開を用いた摂動解析により、正確解と数値解の差を評価する。
• スキームの$L^2$誤差に関して確率積分不等式を導出し、その後グロワールの不等式を適用する。
• Dini連続性およびHölder-Dini連続性の条件に依存して、ドリフトのモジュラス連続性を制御し、非Lipschitz的挙動を許容する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Dini連続および有界でないドリフト係数をもつSDEにおけるEuler-Maruyamaスキームの収束速度は何か？
• RQ2 拡散行列が一様に非退化でない退化SDEに対しても、収束速度は保持されるか？
• RQ3 ドリフトの正則性、特に第一成分が$ frac{2}{3}$次のHölder-Dini連続性を示す場合、収束速度はどのように依存するか？
• RQ4 Lipschitz連続性やHölder連続性よりも弱い正則性仮定のもとで収束速度を確立できるか？
• RQ5 退化Kolmogorov方程式の正則化性が、粗いSDEにおける数値誤差を制御するために果たす役割は何か？

主な発見

• 非退化SDEにおいて、Dini連続および有界でないドリフトをもつEuler-Maruyamaスキームは、$L^2$ノルムで収束速度$ abla^{1/2}$を達成する。
• 退化SDEでは、ドリフトが第一成分で局所的Hölder-Dini連続性（$ frac{2}{3}$次）を示し、第二成分でDini連続である場合、スキームは$ abla^{1/2}$の速度で収束する。
• ドリフトが関数$ phi \in \mathscr{D}^\varepsilon$を満たすDini連続性条件を満たすと仮定することで、非Hölder連続な挙動を許容する。
• 解析は、非退化および退化Kolmogorov方程式の解の正則性に依存しており、PDE技術による誤差推定を可能にする。
• 主要な技術的ステップは、Hölderの不等式、Jensenの不等式、および$ phi^2$および$ phi^{2(1+\varepsilon)}$の凹性を用いて誤差項を評価することであり、可積分性を保証する。
• 最終的な誤差境界はグロワールの不等式により導出され、$ abla^{1/2}$の順序の均一な$L^2$誤差推定が得られる。これは、$ phi$の具体的な形に依存せず、必要な条件を満たしていれば成立する。