[論文レビュー] Convergence to the Mahler measure and the distribution of periodic points for algebraic Noetherian $\mathbb{Z}^d$-actions

Vesselin Dimitrov|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 56被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、固定されたアーキメデス的埋め込みのもとで、$ℚ^d$ 上の $N$-捩れ点 $ζ \in \mu_N^d$ における $ℋ|P(\boldsymbol{\zeta})|$ の平均が、$N \to \infty$ のとき、ランチュア多項式 $P$ のマーラー測度に収束することを確立する。この結果は、コンパクトなアーベル群上のノエター的 $ℤ^d$-作用における周期点の成分が、トポロジカルエントロピーと一致するレートで指数的に増加することを示し、それらのハール測度が最大エントロピー測度に等分布することを意味する。

ABSTRACT

For every $P \in \mathbb{Z}[x_1^{\pm 1}, \ldots, x_d^{\pm 1}] \setminus \{0\}$, and every $\varepsilon > 0$, we prove that there are a computable function $M = M(d,\varepsilon,°{P},h(P)) < \infty$ and a finite union $Z = Z(d,\varepsilon,°{P},h(P))$ of proper torsion cosets $\boldsymbolμ T \subsetneq \mathbb{G}_m^d$ such that, for every $N \in \mathbb{N}$, $Z$ contains all but at most $M$ of the torsion points $\boldsymbolζ \in μ_N^d$ satisfying $|P(\boldsymbolζ)| < e^{-\varepsilon ϕ(N)}$. This extends a well known structural theorem from torsion points lying exactly on a variety to torsion points lying very near to the subvariety. As a consequence, we prove that the averages of $\log{|P(\mathbf{x})|}$ over $μ_N^d$ converge as $N o \infty$ to the Mahler measure of $P$. By the work of B. Kitchens, D. Lind, K. Schmidt and T. Ward, the convergence consequence amounts to the following statement in dynamics: For every Noetherian $\mathbb{Z}^d$-action $T : \mathbb{Z}^d o \mathrm{Aut}(X)$ by automorphisms of a compact abelian group $X$ having a finite topological entropy $h(T)$, the exponential growth rate of the number of connected components of the group $\mathrm{Per}_N(T)$ of $N \cdot \mathbb{Z}^d$-periodic points of $(X,T)$ exists as $N o \infty$, and equals the topological entropy $h(T)$. Moreover, it follows that all weak-$*$ limit measures of the push-forwards of the Haar measures on $\mathrm{Per}_N(T)$, under any a sequence of positive integers $N$, are measures of maximum entropy $h(T)$. Our main arithmetic result extends to Diophantine approximation by points of sufficiently small canonical height. It is best possible in such a generality, where an exceptional set is an inevitable feature.

研究の動機と目的

• コンパクトなアーベル群上のノエター的 $ℤ^d$-作用における周期点の漸近的成長率に関する、長年の未解決問題を解消すること。
• このような作用において、$\mathrm{Per}_N(T)$ の連結成分の数の指数的成長率が、トポロジカルエントロピー $h(T)$ に収束することを確立すること。
• 有限エントロピーおよびノエター的仮定の下で、$\mathrm{Per}_N(T)$ 上の正規化されたハール測度の弱-*極限が最大エントロピー測度であることを示すこと。
• 捩れ点のディオファントス近似と力学的等分布の間の関係を通じて、数論的および力学的視点を統合すること。
• 従来のエルゴディック理論的手法とは補完的である、新たな数論的ルートを周期軌道の等分布に提供すること。

提案手法

• 代数的部分多様体から $N$-捩れ点までの距離に対して、一様に有界な例外集合を除き、サブ・リウヴィル型の評価を確立する。
• この評価を適用して、$\boldsymbol{\zeta} \in \mu_N^d$ かつ $P(\boldsymbol{\zeta}) \neq 0$ の範囲で $\log|P(\boldsymbol{\zeta})|$ の平均が、$N \to \infty$ のときマーラー測度に収束することを示す。
• キッチズ、リンズ、シュマイド、ウォードの研究を通じて、代数的 $ℤ^d$-作用とその周期点構造との間の力学的双対性を用いる。
• 双対群 $X$ における調和解析および可換代数を用いて、$\mathrm{Per}_N(T)$ 上のハール測度の等分布を導出する。
• トン・レの仕事により、合同被覆のホモロジーにおける捩れの成長に関する問題のアーベル的ケースを解消する。
• ハベッガーの、$o$-最小的構造における定義可能集合に関するディオファントス近似結果を経由する代替ルートを概説し、彼の評価から収束が従うことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノエター的 $ℤ^d$-作用によるコンパクトなアーベル群上での $\mathrm{Per}_N(T)$ の連結成分の数の指数的成長率は、トポロジカルエントロピー $h(T)$ に収束するか？
• RQ2 $N \to \infty$ のとき、$\mathrm{Per}_N(T)$ 上の正規化されたハール測度は最大エントロピー測度に等分布するか？
• RQ3 $N$-捩れ点 $\boldsymbol{\zeta} \in \mu_N^d$ における $\log|P(\boldsymbol{\zeta})|$ の平均は、$P$ のマーラー測度に収束するか？
• RQ4 代数的集合への捩れ点の近似に関する数論的評価を用いて、平均からマーラー測度への収束を確立できるか？
• RQ5 $o$-最小的構造における定義可能集合に関するディオファントス近似結果から、周期点の力学的等分布を導出できるか？

主な発見

• $P(\boldsymbol{\zeta}) \neq 0$ である $N$-捩れ点 $\boldsymbol{\zeta} \in \mu_N^d$ における $\log|P(\boldsymbol{\zeta})|$ の平均は、$N \to \infty$ のときマーラー測度に収束する。
• 有限トポロジカルエントロピー $h(T)$ を持つ任意のノエター的 $ℤ^d$-作用 $T$ に対して、$\mathrm{Per}_N(T)$ の連結成分の数は $e^{(1+o(1))h(T)N^d}$ のレートで増加する。
• $\mathrm{Per}_N(T)$ 上のハール測度の押し出しのすべての弱-*極限は、最大エントロピー $h(T)$ の測度である。
• トン・レの仕事により、この結果は、有限単体的複体の合同被覆におけるホモロジーの捩れの成長問題のアーベル的ケースを解消する。
• ハベッガーの最近の、$o$-最小的構造における定義可能集合に関するディオファントス近似結果を経由する代替証明ルートが存在する。
• 収束結果は半有効的であり、小 canonical 高さの点への一般化が可能であり、ベイカーの定理の高次元版との関係を示唆する。