[論文レビュー] On the dynamical and arithmetic degrees of rational self-maps of algebraic varieties

Shu Kawaguchi, Joseph H. Silverman|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、特徴量が0のグローバル体上の滑らかで射影的代数的多様体上の有理自己写像に関して、力学的次元 δ_f と算術的次元 α_f の間の基本的な不等式を確立する。反復点の高さが δ_f + ε の指数的成長率で上から抑えられることを示し、すべての軌道が正しく定義された点 P に対して α_f(P) ≤ δ_f が成り立つ。主な貢献は、あるスペクトル的条件の下で一様な高さの上界と、Canonical 高さの存在である。

ABSTRACT

Let f : X --> X be a dominant rational map of a projective variety defined over a global field, let d_f be the dynamical degree of f, and let h_X be a Weil height on X relative to an ample divisor. We prove that h_X(f^n(P)) << (d_f + e)^n h_X(P), where the implied constant depends only on X, h_X, f, and e. As applications, we prove a fundamental inequality a_f(P) \le d_f for the upper arithmetic degree and we construct canonical heights for (nef) divisors. We conjecture that a_f(P) = d_f whenever the orbit of P is Zariski dense, and we describe some cases for which we can prove our conjecture.

研究の動機と目的

• 滑らかで射影的代数的多様体 X と、その上に定義された有理自己写像 f に対して、X 上の点の軌道に沿った Weil 高さの成長に対する一様な上界を確立すること。
• 幾何的力学的次元 δ_f と、軌道に沿った高さの指数的成長率として定義される算術的次元 α_f の関係を明らかにすること。
• f が Néron-Severi 群に誘導する引き戻し作用の特定のスペクトル的条件下で、canonical 高さ ĥ_{f,D} = lim β^{-n} h_D ∘ f^n の存在と収束を証明すること。
• f-軌道が X において Zarsiki 密度を持つ点 P に対して、α_f(P) = δ_f が成り立つという予想を検討すること。
• 特に、次元が1の Néron-Severi 群をもつ多様体上の自己写像、および特定の単項式写像やアーベル多様体写像の重要な幾何的・算術的状況で、この予想を検証すること。

提案手法

• アーベル的因子に相対する Weil 高さ関数を用いて、代数的多様体上の点の算術的複雑度を測定する。
• Néron-Severi 群 NS(X)_R 上での (f^n)* の作用のスペクトル半径の推定を適用し、力学的次元 δ_f を定義する。
• 一様な高さの上界を確立する：すべての軌道が正しく定義された点 P に対して、h_X^+(f^n(P)) ≤ C(δ_f + ε)^n h_X^+(P) が成り立ち、C は X, h_X, f, ε のみに依存する。
• β > √δ_f かつ f^*D ≡ βD を満たす条件下で、canonical 高さ ĥ_{f,D} = lim β^{-n} h_D ∘ f^n を導入し、収束を証明する。
• 非常に正則な因子、正則関数、高さ比較補題などの代数的幾何学的道具を用いて、成長率を制御する。
• p-進法と弱い下位 canonical 高さを特殊な場合に用い、最大算術的次元を達成する点の密度結果を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての軌道が正しく定義された点 P に対して、算術的次元 α_f(P) は存在するか？
• RQ2 上界算術的次元 α_f(P) は常に力学的次元 δ_f で上から抑えられるか？
• RQ3 どのような条件下で canonical 高さ ĥ_{f,D} が収束し、その関数的性質は何か？
• RQ4 α_f(P) = δ_f が成り立つのはいつか、特に Zarsiki 密度を持つ軌道を持つ点に対してか？
• RQ5 Zarsiki 密度を持つ軌道に対して α_f(P) = δ_f が成り立つという予想は、特定の幾何的設定で証明可能か？

主な発見

• 任意の ε > 0 に対して、ある定数 C が存在し、すべての P ∈ X_f(̄K) に対して h_X^+(f^n(P)) ≤ C(δ_f + ε)^n h_X^+(P) が成り立つ。これは、高さ成長に対する一様な指数的上界を確立する。
• すべての P ∈ X_f(̄K) に対して、上界算術的次元は α_f(P) ≤ δ_f を満たす。これは、算術的次元と力学的次元の間の基本的不等式を証明する。
• f が自己写像であり、ある β > √δ_f に対して f^*D ≡ βD が成り立つとき、canonical 高さ ĥ_{f,D} = lim β^{-n} h_D ∘ f^n は収束し、ĥ_{f,D} ∘ f = β ĥ_{f,D} を満たし、ĥ_{f,D} = h_D + O(√h_X) を満たす。
• Zarsiki 密度を持つ f-軌道を持つ点 P に対して α_f(P) = δ_f が成り立つという予想は、以下の状況で証明された：dim_NS(X)_R = 1 である多様体上の自己写像、(P^N, G_m^N) 上の単項式写像、自己準同型をもつアーベル多様体、および特定の平面写像。
• A^2 上の支配的正則アフィン自己同型、または P^2 上の次数2写像に対して、α_f(P) = δ_f を満たす点の集合は Zarsiki 密度を持ち、互いに交差しない軌道を持つ。
• すべてのケースで、写像が代数的に安定であるか、単項式写像であるか、アーベル多様体上の自己準同型である場合、力学的次元 δ_f は代数的整数である。