[論文レビュー] Convex Bodies Associated to Linear Series

Robert Lazarsfeld, Mircea Mustaţă|ArXiv.org|May 29, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 20

ひとこと要約

この論文は、フラグに基づく評価の構成を用いて、射影的多様体上の線型系列に関連する凸幾何的対象としてオクヌコフ体を導入する。ユークリッド体積が因子の体積に階乗係数をかけたものに等しいことが示され、代数幾何学の古典的結果を一般化し、漸近的線型系列理論と凸幾何学を結びつける。

ABSTRACT

In his work on log-concavity of multiplicities, Okounkov showed in passing that one could associate a convex body to a linear series on a projective variety, and then use convex geometry to study such linear systems. Although Okounkov was essentially working in the classical setting of ample line bundles, it turns out that the construction goes through for an arbitrary big divisor. Moreover, this viewpoint renders transparent many basic facts about asymptotic invariants of linear series, and opens the door to a number of extensions. The purpose of this paper is to initiate a systematic development of the theory, and to give a number of applications and examples.

研究の動機と目的

• フラグに基づく評価の構成を用いて、射影的多様体上の線型系列に関連する凸体の体系的理論を構築すること。
• 凸幾何的手法を用いて、体積の計算のような漸近的代数幾何学における古典的結果を一般化すること。
• 因子類に関する関数としてのこれらの凸体の変動を、特に数的同値関係および有理数的類との関係で研究すること。
• 半群と有理部分空間の交わりが、関連する錐とその部分空間との交わりに一致する条件を同定すること。
• これらの凸体の幾何学的および代数的性質、特に非多面体的および非有理的例を含めた研究。

提案手法

• X における codimension i の部分多様体のフラグ Y• を用いて、大きな因子 D の全切断空間上に評価に似た関数 ν を構成する。
• 非ゼロの O_X(D) の切断の評価ベクトルの集合として v(D) を定義し、これが切断の漸近的挙動を捉える。
• R^d に埋め込んだ m ≥ 1 に対する (1/m)·v(mD) の和集合の閉凸包として Okounkov 体 Δ(D) を定義する。
• コファンスキーの結果と漸近的解析を用いて、Δ(D) の体積が (1/d!) 倍の因子 D の体積に等しいことを証明する。
• Δ(D) が D の数的同値類にのみ依存することを確立し、この構成を有理数的および実数的数的類に拡張する。
• 半群論と錐幾何学を用いて、有理部分空間への制限における Okounkov 体の挙動を分析し、半群の交わりの錐が、全次元性および内部交わり条件の下で、錐の交わりと一致することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凸幾何学をどのようにして射影的多様体上の線型系列を系統的に研究するか？
• RQ2 因子の体積とその関連するオクヌコフ体の体積との正確な関係は何か？
• RQ3 半群と有理部分空間の交わりが、関連する錐とその部分空間との交わりに一致する条件は何か？
• RQ4 特に数的同値に関して、因子類の関数としてオクヌコフ体はどのように変化するか？
• RQ5 オクヌコフ体は、たとえアンピール因子に対しても非多面体的または非有理的になり得るか？

主な発見

• オクヌコフ体 Δ(D) のユークリッド体積は、因子 D の体積の (1/d!) 倍に等しく、すなわち vol_{R^d}(Δ(D)) = (1/d!)·vol_X(D) が成り立つ。
• Δ(D) の構成は D の数的同値類にのみ依存し、正の整数 p に対して Δ(pD) = p·Δ(D) が成り立つ。
• 任意の有理数的数的類 ξ ∈ N^1(X)_Q に対して、well-defined なオクヌコフ体 Δ(ξ) ⊆ R^d が存在し、vol_{R^d}(Δ(ξ)) = (1/d!)·vol_X(ξ) が成り立つ。
• 本論文は、非有理的で、台形ではあるが非有理的であるオクヌコフ体を持つアーベル面上の因子の例を構成し、アンピールの場合でも非有理的性が成立することを示している。
• 四次元の例として、オクヌコフ体が非多面体的である例が与えられ、凸体が複雑な幾何的構造をとることを示している。
• 半群 Γ が Z^n の有限指数部分群を生成し、部分空間 L が錐 Σ の内部と交わるという仮定の下で、Σ(Γ) ∩ L = Σ(Γ ∩ L) が成り立つことが証明され、半群と錐の交わりの間の重要な整合性が確立された。