[論文レビュー] Convexity and smoothness of scale functions and de Finetti's control problem

Andreas E. Kyprianou, Víctor M. Hernández Rivero+1 more|ArXiv.org|Jan 13, 2008

Probability and Risk Models参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、サブオルダレーターのポテンシャル解析を用いて、スペクトル的に負のレビ過程のスケール関数の滑らかさおよび凸性の性質を確立する。Lévy密度が対数凸である場合、スケール関数 $ W^{(q)} $ は $ (a^*, \infty) $ で凸であることが示され、$ a^* $ は $ W^{(q)′} $ がグローバル最小値をとる点である。これにより、de Finettiの制御問題が $ a^* $ におけるバリア戦略によって解けることが示される。

ABSTRACT

Under appropriate conditions, we obtain smoothness and convexity properties of $q$-scale functions for spectrally negative Lévy processes. Our method appeals directly to very recent developments in the theory of potential analysis of subordinators. As an application of the latter results to scale functions, we are able to continue the very recent work of \cite{APP2007} and \cite{Loe}. We strengthen their collective conclusions by showing, amongst other results, that whenever the Lévy measure has a density which is log convex then for $q>0$ the scale function $W^{(q)}$ is convex on some half line $(a^*,\infty)$ where $a^*$ is the largest value at which $W^{(q)\prime}$ attains its global minimum. As a consequence we deduce that de Finetti's classical actuarial control problem is solved by a barrier strategy where the barrier is positioned at height $a^*$.

研究の動機と目的

• スペクトル的に負のレビ過程の $ q $-スケール関数の滑らかさおよび凸性の性質を確立すること。
• de Finettiの古典的アクチュアリアル制御問題に関する先行研究を、より広いクラスのレビ過程へと拡張すること。
• スケール関数の最適バリアレベル $ a^* $ を $ W^{(q)′} $ のグローバル最小値の点として特徴付けること。
• サブオルダレーターのポテンシャル解析を通じて、スケール関数の凸性とLévy密度の対数凸性を結びつけること。
• 一般のレビ動的過程におけるバリア戦略の最適性に対する厳密な解析的基盤を提供すること。

提案手法

• 特に特殊サブオルダレーターの理論を含む、サブオルダレーターの最近のポテンシャル解析の発展を活用する。
• ウィーナー＝ホプフ因数分解を用いて、降下ラダー過程のラプラス指数とスケール関数を関連付ける。
• 2変量の降下ラダー・サブオルダレーター $ \widehat{\kappa}(q, \cdot) $ のLévy密度 $ \upsilon_q(x) $ を導出し、Lévy密度が対数凸である場合に $ \upsilon_q(x) $ が非増加であることを示す。
• 部分積分および対数凸関数の性質を用いて、$ \upsilon_q(x) = e^{\Phi(q)x} \int_x^\infty e^{-\Phi(q)y} \pi(y) dy $ が成り立つことを証明し、$ \pi $ が対数凸であるときこの関数が非増加であることを示す。
• $ \widehat{\kappa}(q, \cdot) $ がドリフト $ d = \sigma^2/2 $ と上昇ラダー過程のポテンシャル測度から導かれるLévy測度を持つ Bernstein 関数として特徴付けられる。
• 時間・空間のウィーナー＝ホプフ因数分解を適用し、$ \widehat{\kappa}(q, 0) = q / \Phi(q) $ を得ることで、$ \widehat{\kappa}(q, \cdot) $ のLévy測度の尾の挙動を導出可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lévy密度にどのような条件下で、$ q $-スケール関数 $ W^{(q)} $ が半直線上で凸性を示すか？
• RQ2 de Finettiの制御問題における最適バリアレベル $ a^* $ は、$ W^{(q)′} $ のグローバル最小値の点とどのように関係しているか？
• RQ3 Lévy密度が対数凸である場合、サブオルダレーターのポテンシャル解析を用いて $ W^{(q)} $ の凸性を確立できるか？
• RQ4 降下ラダー・サブオルダレーター $ \widehat{\kappa}(q, \cdot) $ のLévy測度の正確な構造は何か？また、元のLévy測度 $ \Pi $ とどのように関係しているか？
• RQ5 de Finetti問題におけるバリア戦略の最適性は、拡散過程および複合ポアソン過程のケースを越えて、どの程度一般化可能か？

主な発見

• Lévy密度 $ \pi $ が対数凸である場合、サブオルダレーター $ \widehat{\kappa}(q, \cdot) $ のLévy密度 $ \upsilon_q $ は非増加である。
• $ \pi $ が対数凸であるとき、関数 $ x \mapsto e^{\Phi(q)x} \int_x^\infty e^{-\Phi(q)y} \pi(y) dy $ は対数凸である。
• スケール関数 $ W^{(q)} $ は、$ W^{(q)′} $ がグローバル最小値をとる点 $ a^* $ において $ (a^*, \infty) $ で凸である。
• Lévy密度が対数凸である限り、de Finettiの問題における最適制御戦略は、$ a^* $ におけるバリア戦略である。
• Lévy測度の尾は $ \Upsilon_q(z, \infty) = e^{\Phi(q)z} \int_z^\infty e^{-\Phi(q)u} \overline{\Pi}(u) du $ で与えられ、導出された密度 $ \upsilon_q(x) $ と整合的である。
• スケール関数 $ W^{(q)} $ は $ [0, \infty) $ 上で厳密に増加かつ連続であり、ラプラス変換として $ \int_0^\infty e^{-\theta x} W^{(q)}(x) dx = 1 / (\psi(\theta) - q) $（$ \theta > \Phi(q) $）を満たす。