[論文レビュー] Convexity of length functions and Thurston's shear coordinates

Guillaume Théret|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2014

Analytic and geometric function theory参考文献 3被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、任意の測度付き地図的測地的ラミネーションの長さ関数が、テイコフラー空間上のサーミュール座標において、常に凸であることを確立している。特に、ラミネーションがサーミュール座標のラミネーションのすべての葉と横断的に入り交わする場合には、厳密凸である。この結果は、単純閉測地的曲線に制限されていた従来の凸性定理を、すべての測度付きラミネーションおよびすべての完全測地的ラミネーションを座標基底として一般化したものであり、ストレッチラインや地震変形への応用を含む。

ABSTRACT

We show that the length function of a measured geodesic lamination is convex in Thurston's shear coordinates over Teichmüller space and strictly convex for generic laminations. We give some consequences of this result in the context of Thurston's asymmetric metric on Teichmüller space.

研究の動機と目的

• テイコフラー空間におけるすべての測度付き測地的ラミネーションについて、長さ関数の凸性結果を単純閉測地的曲線から一般化すること。
• パンツ分解に基づくシアー座標に限定されない、任意の完全測地的ラミネーションを基底とするシアー座標への凸性定理の有効性を拡張すること。
• 測度付きラミネーションが座標ラミネーションのすべての葉と横断的に交わる場合に、長さ関数が厳密凸であることを確立すること。
• 凸性結果をストレッチラインおよび地震変形に沿った長さ関数の挙動の解析に応用すること。
• 文献に現れるさまざまな構成におけるシアー座標の使用を統合・明確化すること。

提案手法

• 測地的ラミネーションの厚みのあるトレイントラック近似を用いて、テイコフラー空間上の局所的シアー座標を定義する。
• 完全測地的ラミネーションの補集合における理想三角形間のシアー座標を、普遍被覆を用いて厳密に定義する。
• 表面における双曲的計量を活用し、測度付き測地的ラミネーションの長さをシアー座標の関数として表現する。
• 凸解析の技法を適用し、これらの座標において長さ関数が凸であることを証明。横断的交差の下では厳密凸である。
• ストレッチラインの対数パrameter化を用いて漸近的挙動を解析し、そのような測地線に沿った長さ関数の凸性を導出する。
• 凸性結果を地震変形に応用し、ケルコフの定理（地震変形下での長さ関数の厳密凸性）を再発見する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の完全測地的ラミネーションを座標基底とするサーミュールのシアー座標において、測度付き測地的ラミネーションの長さ関数は凸であるか？
• RQ2 これらの座標において、長さ関数が厳密凸である条件は何か？
• RQ3 長さ関数の凸性は、テイコフラー空間におけるストレッチラインに沿った関数の挙動にどのように制約を加えるか？
• RQ4 凸性結果は地震変形へと拡張可能か？ そして、ケルコフの定理のような既知の結果を回復できるか？
• RQ5 ストレッチラインに沿った長さ関数の漸近的挙動は何か？ また、凸性はこの挙動とどのように相互作用するか？

主な発見

• 任意の測度付き測地的ラミネーションの長さ関数は、任意の完全測地的ラミネーションに付随するサーミュールのシアー座標において凸である。
• 測度付きラミネーションが座標ラミネーションのすべての葉と横断的に交わる場合に限り、長さ関数は厳密凸である。
• 弧長の対数でパrameter化されたストレッチラインに沿って、測度付きラミネーションの長さ関数は厳密凸であり、漸近的挙動に応じて単調減少または単調増加であることを示唆する。
• ホロシクルラミネーションに対しては、長さ関数は厳密に減少し、パrameterが無限大に近づくにつれて0に収束する。
• 測度付きラミネーションがスツンプおよびホロシクルラミネーションの両方と非交差する場合、ストレッチラインに沿った長さ関数は定数または厳密に減少し、両方の無限大において有限な正の極限を持つ。
• 凸性結果により、地震ラミネーションと横断的に交わる任意の測度付きラミネーションの長さ関数は、地震変形の下で厳密凸であることが示され、ケルコフの定理が再発見される。