[論文レビュー] Convexity properties of presymplectic moment maps

Yi Lin, Reyer Sjamaar|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、群作用に『クリーン性』条件が成り立つ場合、予シンプレクティックモーメント写像に対して凸性定理を確立する。これにより、退化フォリエーションが障害とならなければ、モーメントポリトープの凸性やモース＝ボット性といった主要なシンプレクティック幾何学的結果が回復される。主な貢献は、モーメント写像がシンプレクティックの場合と同様の凸性およびモース理論的性質を保つための十分条件（クリーン性）を特定することにある。

ABSTRACT

The convexity and Morse-theoretic properties of moment maps in symplectic geometry typically fail for presymplectic manifolds. We find a condition on presymplectic moment maps that prevents these failures. Our result applies for instance to Prato's quasifolds and to Hamiltonian actions on contact manifolds and cosymplectic manifolds.

研究の動機と目的

• シンプレクティック幾何学におけるモーメント写像の凸性定理が、予シンプレクティック多様体へと拡張される条件を同定すること。
• 非自明なゼロフォリエーションの存在により、予シンプレクティック設定において標準的な凸性およびモース理論的結果が失敗する理由を解明すること。
• 群作用における『クリーン性』条件を導入・形式化し、凸性およびモース＝ボット的性質を回復するための十分条件とする。
• 結果をクェーシィフォールド、接触多様体、コシンプレクティック多様体などのより広い幾何的対象へ一般化すること。
• 今後の研究において、モーメントポリトープをエタールシンプレクティックスタックの内在的不変量として解釈する基盤を築くこと。

提案手法

• 閉じた2次形式（定秩）とモーメント写像 $ d\tilde{\Phi}^\xi = \iota(\xi_X)\omega $ を満たす、予シンプレクティックハミルトニアン $ G $-多様体を定義する。
• 『クリーン性』条件を導入：各点におけるリー代数のゼロイデアルが、群軌道とフォリエーションの葉の交わりの接空間を張ること。
• クリーン性のもとで、モーメント写像の纤维が連結であり、写像 $ \Phi: X \to \Phi(X) $ が開写像であることを証明し、位相的制御を確立する。
• Weylチャネルと交わったモーメント写像の像が、閉じた凸多面体的集合であることを示す。
• クリーン性仮定のもとで、モーメント写像の成分がモース＝ボット関数であることを示し、シンプレクティックの場合の重要な結果を一般化する。
• 局所正規形定理を用いて、各点の近傍を標準的モデルとして構成し、多様体の局所型がシンプレクティックスライスと商データを含む標準的局所モデルと同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティック幾何学におけるモーメント写像の凸性定理が、予シンプレクティック多様体へと拡張される条件は何か？
• RQ2 予シンプレクティック設定における凸性およびモース＝ボット的性質の失敗を体系的に防ぐにはどうすればよいか？
• RQ3 ゼロフォリエーションが標準的なシンプレクティック結果を妨げる役割を果たすメカニズムは何か？ そして、どのように制御可能か？
• RQ4 適切な条件下で、予シンプレクティック幾何学におけるモーメントポリトープは凸多面体的集合として特徴付けられるか？
• RQ5 モーメントポリトープは、多様体の葉空間またはスタック的商によってどの程度決定されるか？

主な発見

• クリーン性および固有性の仮定のもとで、モーメント写像の像 $ \Delta(X) = \Phi(X) \cap C $ は閉じた凸多面体的集合である。
• モーメント写像の纤维は連結であり、写像 $ \Phi: X \to \Phi(X) $ は開写像である。
• モーメントポリトープ $ \Delta(X) $ が有理的であることは、ゼロ部分群 $ N(X) $ が閉じていることと同値である。
• クリーン性条件のもとで、予シンプレクティックモーメント写像の成分はモース＝ボット関数である。これはシンプレクティック幾何学における基礎的結果を拡張する。
• 局所正規形定理により、任意の点の $ G $-不変近傍が、シンプレクティックスライスと商データを含む標準的モデルと同型であることが示された。
• 今後の研究で示されるように、モーメントポリトープの構造は、エタールシンプレクティックスタック $ \mathscr{X} $ およびスタック的群 $ \mathscr{G} $ に対して内在的である。