[論文レビュー] Convolution type stochastic Volterra equations

Anna Karczewska|ArXiv.org|Dec 28, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 68被引用数 13

ひとこと要約

この独著は、ヒルバート空間および緩徐分布空間における線形確率的ボルテラ積分方程式（畳み込み型）の強解の存在および正則性に関する結果を確立する。リゾルベント族と円柱形ウィーナー過程に関する確率積分を用いて、一般のカーネルおよび作用素条件の下で強解の存在を証明し、分数階および無限遅れ方程式への応用を含む。

ABSTRACT

The aim of this work is to present, in self-contained form, results concerning fundamental and the most important questions related to linear stochastic Volterra equations of convolution type. The paper is devoted to study the existence and some kind of regularity of solutions to stochastic Volterra equations in Hilbert space and the space of tempered distributions, as well. In recent years the theory of Volterra equations, particularly fractional ones, has undergone a big development. This is an emerging area of research with interesting mathematical questions and various important applications. The increasing interest in these equations comes from their applications to problems from physics and engeenering, particularly from viscoelasticity, heat conduction in materials with memory or electrodynamics with memory.

研究の動機と目的

• 分離可能なヒルバート空間における線形確率的ボルテア積分方程式（畳み込み型）の強解の存在を確立すること。
• 緩徐分布空間における確率的ボルテア方程式の解の正則性を調査すること。
• リゾルベント族および確率積分の結果を無限次元および分布的設定へと拡張すること。
• 決定的ボルテア理論と確率解析を統合した自己完結的な独著を提供すること。
• Viscoelasticity、記憶を有する熱伝導、記憶を有する電磁力学の分野における応用を、厳密な数学的取り扱いを通じて提示すること。

提案手法

• 決定的ボルテア方程式に対する有界連続リゾルベント族を用いて解を構成する。
• ヒルバート空間における円柱形ウィーナー過程に関する確率積分を伊藤積分フレームワークを用いて適用する。
• 経路的および分布的解を扱うために、確率的フビニーの定理および伊藤の公式を用いる。
• 近似定理およびカーネルの正則性条件（例：放物型カーネル）を用いて解の存在を保証する。
• 一般化されたおよび古典的なガウス型確率場を用いて、分布空間における解のモデル化を行う。
• リゾルベント族のスペクトル的性質と極限測度を用いて無限遅れ方程式を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 畳み込み型の確率的ボルテア方程式が分離可能なヒルバート空間で強解をもつための条件は何か？
• RQ2 カーネル関数の正則性が分布空間における解の正則性にどのように影響するか？
• RQ3 α回リゾルベント族は、分数階確率的ボルテア方程式の解の存在および収束において果たす役割は何か？
• RQ4 確率積分を緩徐分布空間へと拡張することで、解を定義するにはどのような方法があるか？
• RQ5 無限遅れを有する方程式の解が連続的または正則的であるための条件は何か？

主な発見

• カーネルおよび作用素に対する弱い可積分性およびリゾルベント条件のもとで、ヒルバート空間における確率的ボルテア方程式に対して強解が存在する。
• カーネル $ a(t) = t^{\beta-1}/\Gamma(\beta) $ を有する分数階ボルテア方程式に対して、α回リゾルベント族の収束が確立され、強解の存在が保証される。
• 緩徐分布空間における方程式の解は、共分散作用素 Γ に関する適切な条件のもとで連続であることが示された。
• 確率的ボルテア方程式に対する極限測度が特徴付けられ、長期的挙動および正則性を調べるための枠組みが提供された。
• 無限遅れを有する方程式に対しては、リゾルベント族のスペクトル的性質と近似技法を用いて解の正則性が証明された。
• 本稿では、確率的ボルテア方程式と分数階進化方程式との間の厳密な関係が確立され、古典的結果が確率的設定へと拡張された。