[論文レビュー] Convolutional codes from unit schemes

Ted Hurley|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ユニット代数的スキームを用いた、畳み込み符号を構築するための新規な代数的フレームワークを提案する。これにより、明示的で効率的かつスケーラブルな設計が可能となり、誤り訂正能力が保証される。可逆スキームとその逆の構造を活用することで、制御行列と右逆行列を直接計算し、最大自由距離を有する畳み込み符号を生成する。また、効率的な代数的デコーディングが可能であり、LDPC、自己双対、双対を含む符号を生成可能で、これは量子符号の構築に不可欠である。

ABSTRACT

Convolutional codes are constructed, designed and analysed using row and/or block structures of unit algebraic schemes. Infinite series of such codes and of codes with specific properties are derived. Properties are shown algebraically and algebraic decoding methods are derived. For a given rate and given error-correction capability at each component, convolutional codes with these specifications and with efficient decoding algorithms are constructed. Explicit prototype examples are given but in general large lengths and large error capability are achievable. Convolutional codes with efficient decoding algorithms at or near the maximum free distances attainable for the parameters are constructible. Unit memory convolutional codes of maximum possible free distance are designed with practical algebraic decoding algorithms. LDPC (low density parity check) convolutional codes with efficient decoding schemes are constructed and analysed by the methods. Self-dual and dual-containing convolutional codes may also be designed by the methods; dual-containing codes enables the construction of quantum codes.

研究の動機と目的

• 畳み込み符号の代数的構成手法の長年の欠如に応えるものであり、これまでは計算的に制限された探索手法に依存していた。
• 指定されたレート、メモリ、誤り訂正能力を有する畳み込み符号を体系的かつ代数的に構築するためのアプローチを開発すること。
• ユニットスキームの構造的性質を活用して、最大自由距離を有する符号と、実装可能な効率的デコーディングアルゴリズムを有する符号の設計を可能にすること。
• フレームワークを拡張し、LDPC、自己双対、双対を含む畳み込み符号といった特殊なクラスの符号を生成可能とし、量子符号への応用を図ること。

提案手法

• 本手法は、有限体上での可逆ユニットスキームの行またはブロック構造から畳み込み符号を構築する。
• 生成行列は、スキームから導かれる多項式行列として構成され、メモリは多項式項の次数によって決定される。
• 制御行列と生成行列の右逆行列は、ユニットスキームの逆行列から直接計算され、効率的なデコーディングが可能になる。
• 制御行列の構造により、短いサイクルを回避し、代数的デコーディングを可能にする実装可能な誤り訂正アルゴリズムが保証される。
• 低密度の逆行列を持つ特殊なユニットスキームを用いて、スパースなパリティーチェック行列を有するLDPC畳み込み符号を構築する。
• 直交ユニットスキームを用いて、自己双対および双対を含む畳み込み符号を生成する。特に、特徴2または3の体において、量子符号の構築が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 探索的手法ではなく、代数的構成によって最大自由距離と効率的デコーディングを有する畳み込み符号を構築可能か？
• RQ2 ユニットスキームを体系的に用いて、特定のレート、メモリ、誤り訂正能力を有する畳み込み符号を生成可能か？
• RQ3 このフレームワークは、低密度パリティーチェック行列と効率的デコーディングを有するLDPC畳み込み符号を生成可能か？
• RQ4 自己双対および双対を含む畳み込み符号を、ユニットスキームを用いて代数的に構築可能か、特に量子符号の応用において？
• RQ5 ユニットスキームのどのような構造的性質が、距離およびデコーディング効率の観点で最適または準最適な畳み込み符号をもたらすか？

主な発見

• 本手法により、与えられたパラメータに対して最大自由距離を有する畳み込み符号が構築可能であり、一般化されたSingletonの上限に達する。
• 明示的な構成により、レート7/8の双対を含む畳み込み符号が達成され、例えば特徴2における(16,14,14;1,4)符号が得られる。
• ユニットスキームの逆行列が低密度であることを保証することで、LDPC畳み込み符号が構築され、短いサイクルを伴わないスパースな制御行列が得られる。
• 直交ユニットスキームから自己双対畳み convolutional 符号が生成され、1つの4×4直交スキームから4!個の異なる自己双対符号が導出可能である。
• 生成行列の逆行列から直接代数的デコーディングアルゴリズムが導出可能であり、誤り補正後に情報ベクトルの効率的回復が可能になる。
• 本フレームワークは、既存の構成を特別なケースとして包含し、スケーラブルで長大な長さの符号を、高い誤り訂正能力とともに実現可能である。