[論文レビュー] Cops and Robber Game with a Fast Robber on Interval, Chordal, and Planar Graphs

Abbas Mehrabian|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2010

Advanced Graph Theory Research参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、泥棒が無限大の速度で移動可能だが、警察が占拠している頂点を通過できないという、Cops and Robberゲームの変種を研究する。区間グラフ、弦的グラフ、平面グラフ、および超立方体グラフについて、警察数 $c_{\text{∞}}(G)$ のタイトな境界を確立し、区間グラフでは $c_{\text{∞}}(G) = O(\sqrt{n})$、一部の弦的グラフでは $Ω(n/\log n)$、平面グラフでは $Θ(\text{tw}(G))$ を示した。また、区間グラフに対しては3-近似アルゴリズムを提案し、超立方体グラフについてもタイトな境界を得た。

ABSTRACT

We consider a variant of the Cops and Robber game, introduced by Fomin, Golovach, Kratochvil, in which the robber has unbounded speed, i.e. can take any path from her vertex in her turn, but she is not allowed to pass through a vertex occupied by a cop. We study this game on interval graphs, chordal graphs, planar graphs, and hypercube graphs. Let c_{\infty}(G) denote the number of cops needed to capture the robber in graph G in this variant. We show that if G is an interval graph, then c_{\infty}(G) = O(sqrt(|V(G)|)), and we give a polynomial-time 3-approximation algorithm for finding c_{\infty}(G) in interval graphs. We prove that for every n there exists an n-vertex chordal graph G with c_{\infty}(G) = Omega(n / \log n). Let tw(G) and Delta(G) denote the treewidth and the maximum degree of G, respectively. We prove that for every G, tw(G) + 1 \leq (Delta(G) + 1) c_{\infty}(G). Using this lower bound for c_{\infty}(G), we show two things. The first is that if G is a planar graph (or more generally, if G does not have a fixed apex graph as a minor), then c_{\infty}(G) = Theta(tw(G)). This immediately leads to an O(1)-approximation algorithm for computing c_{\infty} for planar graphs. The second is that if G is the m-hypercube graph, then there exist constants eta1, eta2>0 such that (eta1) 2^m / (m sqrt(m)) \leq c_{\infty}(G) \leq (eta2) 2^m / m.

研究の動機と目的

• 警察が占拠している頂点を通過できないが、無限大の速度で移動可能なCops and Robberゲームの変種における警察数 $c_{\infty}(G)$ を分析すること。
• 区間、弦的、平面、超立方体グラフにおける $c_{\infty}(G)$ のタイトな上界および下界を特定すること。
• 区間グラフにおける $c_{\infty}(G)$ を計算する多項式時間の3-近似アルゴリズムを構築すること。
• 警察数 $c_{\infty}(G)$ と木幅や最大次数などのグラフパラメータとの関係を調査すること。
• 特定のグラフクラスにおける $c_{\infty}(G)$ の計算複雑性および正確な値に関する未解決の問題を解消すること。

提案手法

• 区間グラフに対しては、構造的分解と経路ベース戦略を用いて $c_{\infty}(G) = O(\sqrt{n})$ を証明する。
• 区間グラフの性質と動的計画法を活用し、$c_{\infty}(G)$ の多項式時間3-近似アルゴリズムを構築する。
• 木幅と最大次数の双対性を用いて、$c_{\infty}(G) \geq \frac{tw(G)+1}{\Delta(G)+1}$ の下界を確立する。
• 平面グラフ（および固定の頂点を除く最小イタリアーマイナーを除外するグラフ）に対しては、$c_{\infty}(G) = \Theta(tw(G))$ を証明し、警察数と木幅を結びつける。
• 支配数と木幅の境界を用いて、$m$-次元超立方体グラフ $\mathcal{H}_m$ を分析し、$c_{\infty}(\mathcal{H}_m) = \Theta(2^m / m)$ を導出する。
• 確率的技法とランダムグラフ理論を用いて、$c_{\infty}(G) = \Theta(n)$ となるグラフを構成し、線形の警察数が可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 区間グラフにおける $c_{\infty}(G)$ の正確な漸近的挙動は何か？ また、効率的に近似可能か？
• RQ2 $c_{\infty}(G) = \Omega(n)$ となる弦的グラフは存在するのか？ それとも $\Omega(n/\log n)$ がタイトな上界か？
• RQ3 固定の頂点を除く最小イタリアーマイナーを除外するすべてのグラフに対して $c_{\infty}(G) = \Theta(tw(G))$ が成り立つか？ それとも平面グラフに限るのか？
• RQ4 $m$-次元超立方体グラフ $\mathcal{H}_m$ における $c_{\infty}(G)$ の正確な値は何か？
• RQ5 $c_{\infty}(G)$ を計算することはNPに属するか？ また、区間グラフにおいてはNP困難か？

主な発見

• 区間グラフでは $c_{\infty}(G) = O(\sqrt{n})$ であり、これは $\Omega(\sqrt{n})$ を達成する構成によってタイトであることが示された。
• 区間グラフにおける $c_{\infty}(G)$ を計算する多項式時間3-近似アルゴリズムが存在する。
• 任意の $n$ に対して、$c_{\infty}(G) = \Omega(n/\log n)$ を満たす弦的グラフ $G$ が存在する。これは、この境界がほとんどタイトであることを示している。
• 平面グラフ（および固定の頂点を除く最小イタリアーマイナーを除外するグラフ）においては $c_{\infty}(G) = \Theta(tw(G))$ であり、$O(1)$-近似アルゴリズムが得られる。
• $m$-次元超立方体グラフ $\mathcal{H}_m$ に対しては $c_{\infty}(\mathcal{H}_m) = \Theta(2^m / m)$ であり、定数 $\eta_1, \eta_2 > 0$ を用いて $\eta_1 2^m / (m\sqrt{m}) \leq c_{\infty}(\mathcal{H}_m) \leq \eta_2 2^m / m$ の境界が得られた。
• すべてのグラフ $G$ に対して、下界 $c_{\infty}(G) \geq \frac{tw(G)+1}{\Delta(G)+1}$ が成り立ち、警察数が木幅と最大次数に依存することを示している。