[論文レビュー] Cops, Robber and Medianwidth Parameters

Konstantinos S. Stavropoulos|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$i$ 個のパスの直積に等長埋め込み可能な中点グラフへの中点分解に基づいて定義される新しいグラフパラメータ、$i$-ラティス幅を導入する。これは、パス幅からクリーク数への階層を形成する。$i$-ラティス幅は、$i$ 個のパス分解の交差サイズの最大値として特徴づけられ、$i$ 人の隠密なコップが協力するチームを有する一般化された「コップと泥棒」ゲームと直接的な関係を持つ。このゲームにおいて、単調な勝利戦略は、ちょうど有界な $i$-ラティス幅に対応する。

ABSTRACT

In previous work, we introduced median decompositions, a generalisation of tree decompositions where a graph can be modelled after any median graph, along with a hierarchy of $i$-medianwidth parameters $(mw_i)_{i\geq 1}$ starting from treewidth and converging to the clique number. We introduce another graph parameter based on the concept of median decompositions, to be called $i$-latticewidth and denoted by $lw_i$, for which we restrict the modelling median graph of a decomposition to be isometrically embeddable into the Cartesian product of $i$ paths. The sequence $(lw_i)_{i\geq 1}$ gives rise to a hierarchy of parameters starting from pathwidth and converging to the clique number. We characterise the $i$-latticewidth of a graph in terms of maximal intersections of bags of $i$ path decompositions of the graph. We study a generalisation of the classical Cops and Robber game, where the robber plays against not just one, but $i$ cop players. Depending on whether the robber is visible or not, we show a direct connection to $i$-medianwidth or $i$-latticewidth, respectively.

研究の動機と目的

• 中点グラフへの中点分解に基づく新しい幅パラメータ、$i$-ラティス幅を定義し、その性質を調査すること。ここで、中点グラフは $i$ 個のパスの直積に等長埋め込み可能である。
• パス幅から始まり、クリーク数に収束するパラメータの階層を確立すること。これは、$i$-中点幅階層に類似しているが、木ではなくパスを用いる点が異なる。
• $i$-ラティス幅を、グラフの $i$ 個のパス分解の交差の最大サイズとして特徴づけること。
• コップと泥棒ゲームを $i$ 人の隠密なコップが協力するチームを有する形に一般化し、このゲームにおける単調な勝利戦略が $i$-ラティス幅を特徴づけることを示すこと。

提案手法

• $i$-ラティス幅 $\operatorname{lw}_i(G)$ を、$G$ の中点グラフへの中点分解で、$i$ 個のパスの直積に等長埋め込み可能なものの中で、すべてのバッグのサイズが最大 $k$ であるような最小の $k$ として定義する。
• $\operatorname{lw}_i(G)$ が、$G$ の $i$ 個のパス分解における $i$ 個の頂点 $u_j$ の $i$-タプルについての $\bigcap_{j=1}^i Z_u^j$ の最大サイズに等しいことを証明する。
• $i$ 人の隠密なコップが協力するチームを有する一般化されたコップと泥棒ゲームを導入し、各チームはパス分解戦略に従う。
• $i$ 人の隠密なコップのチームが、協力度が最大 $k$ であるならば、$G$ を単調に探索可能であるための必要十分条件が $\operatorname{lw}_i(G) \leq k$ であること、古典的ゲームからの戦略変換を用いて示す。
• 中点グラフにおける凸性および測地線的性質を用いて、分解および探索戦略が構造的一致性を保つようにする。
• 中点グラフがパスの直積に等長埋め込み可能であるという性質を活用し、ゲームのダイナミクスとグラフの構造的パラメータを関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中点分解の概念を、$i$ 個のパスの直積に等長埋め込み可能な中点グラフに制限することで、新しい幅パラメータを定義する方法は何か？
• RQ2 $i$-ラティス幅は、グラフの複数のパス分解に関して、どのように構造的に特徴づけられるか？
• RQ3 $i$ 人の協力するチームが隠密なコップを有する一般化されたコップと泥棒ゲームを用いて、$i$-ラティス幅をゲーム理論的に特徴づけることができるか？
• RQ4 古典的ゲームにおいて知られている単調戦略と非単調戦略の同値性が、$i=1$ に限らず $i>1$ に対しても拡張可能か？
• RQ5 $i$-ラティス幅に対して、ブレムブルや連結性関数がツリー幅やパス幅において果たす役割を果たす、遮断構造や単調関数を特定できるか？

主な発見

• $i$-ラティス幅パラメータ $\operatorname{lw}_i(G)$ は、パス幅 ($\operatorname{pw}(G)+1$) から始まり、クリーク数 $\omega(G)$ に収束する非増加的階層を形成する。
• 任意の $i < i'$ に対して、$i'$-ラティス幅が有界だが $i$-ラティス幅が無限大であるようなグラフクラスが存在し、階層の各レベルが明確に区別されることを示す。
• $\operatorname{lw}_i(G)$ は、$G$ の $i$ 個のパス分解における $i$ 個の頂点 $u_j$ の $i$-タプルについての $\bigcap_{j=1}^i Z_u^j$ の最大サイズとして正確に特徴づけられる。
• グラフ $G$ が、$i$ 人の隠密なコップのチームによって協力度が最大 $k$ であるならば、単調に探索可能であるための必要十分条件が $\operatorname{lw}_i(G) \leq k$ であることから、ゲーム理論的特徴づけが確立される。
• 古典的コップと泥棒ゲームにおける単調戦略と非単調戦略の同値性は、$i>1$ では一般には成立せず、$i$-ラティス幅における遮断的構造や単調性の性質は未解明のままである。