[論文レビュー] Correlation functions for Schrödinger backgrounds

Balt C. van Rees|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 60被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、動的指数 z=2 の三次元シュレーディンガー時空に対して、質量のあるベクトル場と結合したアインシュタイン重力理論を用いて、ホログラフィック辞書を構築する。変形パラメータ b の一次のオーダーでホログラフィックな正則化を実行し、エネルギー運動量テンソルと無関係なベクトル型オペレータのスキームに依存しない二点関数を計算した。左移動のヴィラソロ代数が保存されていることが確認された一方、右移動セクターには拡張された対称性は認められず、非相対論的 conformal 時空対称性と無限次元対称代数の不在と整合的である。

ABSTRACT

We work out the holographic dictionary for the three-dimensional Schrödinger spacetimes. The first step in our analysis involves the correct identification of the dual sources from the radial expansion of the bulk fields, which turns out to be surprisingly subtle. We discuss in detail the holographic renormalization procedure at the linearized level and holographically compute the two-point functions of the energy-momentum tensor and an irrelevant vector operator. We discuss the appearance of multi-trace counterterms, parametrize the scheme dependence in our results, identify the non-relativistic Ward identities and compare them with expectations in the literature. Our results lead to valuable general insights regarding holography for spacetimes that are not of an asymptotically AdS form.

研究の動機と目的

• z=2 の非アインシュタイン・アインシュタイン的局所的AdS（非-AlAdS）シュレーディンガー時空に対して、完全なホログラフィック辞書を確立すること。
• 非-AlAdS幾何におけるバルク場の径方向展開から双対的源を特定する際の微妙な点を解消すること。
• エネルギー運動量テンソルと無関係なベクトル型オペレータの有限でスキームに依存しない二点相関関数を計算すること。
• 非相対論的 Ward 恒等式の構造を分析し、双対場理論における対称性代数の拡張の有無を特定すること。
• 特に無関係な変形とウィルスンの反復群フローの文脈において、非-AlAdS時空におけるホログラフィーの洞察を提供すること。

提案手法

• 有限な b を持つシュレーディンガー背景におけるバルク場に対して、線形化されたレベルでのホログラフィック正則化を実行する。
• オンシェル作用法を用いて、特定の部分集合に限定されない、すべての境界オペレータの相関関数を計算する。
• バルク場の径方向展開を用いて双対的源を同定するが、非-AlAdS漸近的性質のため、この手続きは微妙であることが判明した。
• エネルギー運動量テンソル T_{ij} と質量のあるベクトル場 A_\mu の双対であるベクトル型オペレータ O_i の二点関数を計算する。
• 微分同相変換および Weyl 対称性の Ward 恒等式を、変形された場理論において分析する。特に、電流 J_{ij} = T_{ij} - 2\pi b_j O_i の役割を検討する。
• 非相対論的スケーリング不変性に関連する保存電流 R_i を導出し、その保存が無限個の保存電流 J_{uu} u^k を生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アインシュタイン的局所的AdS（非-AlAdS）でないシュレーディンガー時空に対して、ホログラフィック辞書を一貫して構築する方法は何か？
• RQ2 双対場理論におけるエネルギー運動量テンソルと無関係なベクトル型オペレータの二点関数の構造は何か？
• RQ3 非相対論的変形は、特に右移動セクターにおいて無限次元対称性代数を保存するのか？
• RQ4 微分同相変換および Weyl 共変性を含む非相対論的 Ward 恒等式は、相関関数をどのように制約するか？
• RQ5 多トレースの補正項とスキーム依存性は、ホログラフィックな相関関数計算において果たす役割は何か？

主な発見

• エネルギー運動量テンソル T_{ij} とベクトル型オペレータ O_i の二点関数がホログラフィックに計算され、スキームに依存しない部分が明示的に特定された。
• 非相対論的変形は、左移動のヴィラソロ代数を保存する。これは、非相対論的視点から見た変形のチャーミカル・マージナリティを裏付けた。
• 右移動セクターには無限次元対称性代数への拡張は認められず、一部の先行研究とは矛盾する結果となった。
• 並進不変性に関連する保存電流は J_{ij} = T_{ij} - 2\pi b_j O_i で与えられ、これは対称でないため、ローレンツ不変性が破れている。
• d=2 かつ Δ=3 の場合、非相対論的スケーリング不変性に関連する電流 R_i は保存され、その結果、J_{uu} u^k の形をした無限個の保存電流が得られる。
• J_{uu} u^k の保存は、左移動のヴィラソロ代数が保存されていることを示唆し、一方 J_{vu} は自明（接触項に還元される）であり、右移動セクターにおける対称性の拡張がないことと整合的である。