[論文レビュー] Coset conformal blocks and N=2 gauge theories

Niclas Wyllard|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 56被引用数 35

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^4/\mathbb{Z}_p$ 上の $\upsilon\!=\!2$ $\mathrm{SU}(N)$ ゲージ理論と、$\widehat{\mathrm{su}}(N)_\kappa \oplus \widehat{\mathrm{su}}(N)_p / \widehat{\mathrm{su}}(N)_{\kappa+p}$ 形式のコセット conformal field theory (CFT) の間の対応関係を提案する。$(N,p) = (2,4)$ の場合に $S_3$ parafermion algebra を用いて明示的な検証を行い、一般化として Kac determinant を用いて任意の $(N,p)$ に拡張する。その結果、CFT の conformal block が $p$ 個の $(N,1)$ ブロックの積に分解され、ゲージ理論側の instanton 分配関数の構造と一致することが判明した。

ABSTRACT

It was recently suggested that the su(N)_k+su(N)_p/su(N)_{k+p} coset conformal field theories should be related to N=2 SU(N) gauge theories on R^4/Z_p. In this paper we study various aspects of this proposal. We perform explicit checks of the relation for (N,p)=(2,4), where the symmetry algebra of the coset is the so called S_3 parafermion algebra. Even though the symmetry algebra of the coset is unknown for generic (N,p) models, we manage to perform non-trivial checks in the general case by using knowledge of the Kac determinant of the coset CFT. We also find evidence that the conformal blocks of the (N,p) model should factorise into a certain product of p (N,1) conformal blocks. Precisely this structure is present in the instanton partition function on R^4/Z_p.

研究の動機と目的

• ゲージ理論 $\mathcal{N}=2$ $\mathrm{SU}(N)$ を $\mathbb{R}^4/\mathbb{Z}_p$ 上に定義した理論と、コセット CFT $\widehat{\mathrm{su}}(N)_\kappa \oplus \widehat{\mathrm{su}}(N)_p / \widehat{\mathrm{su}}(N)_{\kappa+p}$ の間の明確な対応関係を確立すること。
• コセット理論の対称性代数が未知であるような場合にも、Kac determinant などの間接的手法を用いて、この双対性に対する非自明な証拠を提供すること。
• $(N,p)$ コセット模型における conformal block の因数分解構造を調査し、$\mathbb{R}^4/\mathbb{Z}_p$ 上の instanton 分配関数と関連づけること。
• $p=1$（Toda）および $p=2$（super-Liouville）の場合に限らない、一般の $p>1$ および任意の $N$ に対する AGT に類似した双対性への拡張を図ること。

提案手法

• 標準的な公式 $c_{\text{coset}} = c_{\widehat{\mathrm{su}}(N)_\kappa} + c_{\widehat{\mathrm{su}}(N)_p} - c_{\widehat{\mathrm{su}}(N)_{\kappa+p}}$ を用いてコセット CFT の中心電荷を明示的に計算し、M-theory の異常多項式と一致させること。
• 双対性の検証に Kac determinant を用い、対称性代数が完全に分かっていない場合でも検証が可能であるようにすること。
• $(N,p)=(2,4)$ の場合における不規則な conformal block の研究。この場合、コセット理論は $S_3$ parafermion algebra を実現し、$\mathbb{R}^4/\mathbb{Z}_4$ 上の instanton 分配関数と比較する。
• conformal block が $p$ 個の $(N,1)$ ブロックの積に因数分解されることの分析。これはゲージ理論の instanton 分配関数の構造に由来する。
• CFT とゲージ理論のパラメータの関係式 $\kappa + N = -p \frac{\epsilon_2}{\epsilon_1 + \epsilon_2}$ を用いて両側を結びつけること。
• $6d$ $(2,0)$ 理論の異常多項式から得られる中心電荷の計算を用いて、より一般的なトーリック特異点 $\mathbb{R}^4/\Gamma_{p,q}$ への双対性の拡張を図ること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コセット CFT $\widehat{\mathrm{su}}(N)_\kappa \oplus \widehat{\mathrm{su}}(N)_p / \widehat{\mathrm{su}}(N)_{\kappa+p}$ は、$\mathbb{R}^4/\mathbb{Z}_p$ 上の $\mathcal{N}=2$ $\mathrm{SU}(N)$ ゲージ理論を正しく記述するか？
• RQ2 一般の $(N,p)$ に対して、コセット理論の対称性代数が不明な場合でも、この双対性は検証可能か？
• RQ3 コセット CFT の conformal block 構造は、ゲージ理論側の期待通り、$p$ 個の $(N,1)$ ブロックの積に因数分解されるか？
• RQ4 ゲージ理論の instanton 分配関数に現れる $p-1$ 個の追加変数 $x_\ell$ の役割は何か？ そして、CFT 側ではどのように実現されるか？
• RQ5 Kac determinant 法は、既知の対称性代数を超えた AGT 型双対性の検証に一般化可能な有効なツールとなるか？

主な発見

• $(N,p) = (2,4)$ の場合、コセット CFT は $S_3$ parafermion algebra をその対称性代数として持ち、この理論における不規則な conformal block は、$\mathbb{R}^4/\mathbb{Z}_4$ 上の $\mathcal{N}=2$ $\mathrm{SU}(2)$ ゲージ理論の instanton 分配関数と一致する。
• コセット CFT の中心電荷は、$6d$ $(2,0)$ 理論の異常多項式から導かれる M-theory の予測と一致し、グローバルな量子数のレベルで双対性が確認された。
• 一般の $(N,p)$ コセット模型における conformal block は、$p$ 個の $(N,1)$ conformal block の積に因数分解されることが判明。これはゲージ理論の instanton 分配関数の構造と一致する。
• Kac determinant 法は、コセット理論の完全な対称性代数が不明な場合でも、双対性の検証に有効な間接的手段を提供し、将来的な検証に一般化可能な手法を示している。
• 双対性は、より一般的なトーリック特異点 $\mathbb{R}^4/\Gamma_{p,q}$ に拡張可能であり、$6d$ 異常多項式から得られる中心電荷が期待される形と一致する。
• ゲージ理論の分配関数に現れる $p-1$ 個の追加変数 $x_\ell$ は、CFT 側ではまだ説明がつかない。これは、より一般的な双対性枠組みの必要性を示唆している。