[論文レビュー] Cosmological anomalies and exotic smoothness structures

Torsten Aßelmeyer-Maluga, Carl H. Brans|ArXiv.org|Oct 8, 2001

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 1被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、宇宙論的異常——例えば観測された宇宙の加速的膨張——が、特異な物質や修正重力から生じるのではなく、時空に存在する特異な滑らかさ構造、特に $\mathbb{R}^4$ 上の非標準的微分構造から生じる可能性を提案している。これらの構造は、$t$ や $r$ のような座標の全球的滑らか拡張を不可能にし、標準的な光線の軌道の外挿が径方向座標として有効でなくなるため、アインシュタイン方程式を変更せず、新しい物質型を導入せずに、暗黒エネルギー効果を模倣する。

ABSTRACT

It seems to be generally accepted that apparently anomalous cosmological observations, such as accelerating expansion, etc., necessarily are inconsistent with standard general relativity and standard matter sources. Following the suggestions of Sładkowski, we point out that in addition to exotic theories and exotic matter there is another possibility. We refer to exotic differential structures on ${\mathbb R}^4$ which could be the source of the observed anomalies without changing the Einstein equations or introducing strange forms of matter.

研究の動機と目的

• 特異な微分構造を有する $\mathbb{R}^4$ が、一般相対性理論を変更せず、特異な物質を導入せずに、見かけ上の宇宙論的異常を説明できるかどうかを調査すること。
• 特に径方向において、宇宙論的観測を全球的滑らか座標を用いて外挿できるという仮定に疑問を呈すること。
• 時空領域を貫いて滑らか座標の拡張が失敗することで、暗黒エネルギーの効果や加速的膨張の効果を模倣するメカニズムが生じるかを検討すること。
• 標準的な説明の代わりに、新物理ではなく微分トポロジーに基づくトポロジー的代替説明を確立すること。

提案手法

• Theorem 1 を用い、$\mathbb{R}^4$ 上に非微分同相な滑らか構造が非可算無限に存在することを示す。これらは $\mathbb{R}_{Θ}^4$ とラベル付けされる。
• Theorem 2 を適用し、特定の特異な $\mathbb{R}_{Θ}^4$ に対して、$t^2 + x^2 + y^2 + z^2 = R_0^2$ で定義される球面 $S_{R_0}^3$ が $R_0 \geq R_2$ では滑らかに埋め込まれないことを示す。
• Theorem 3 を用い、このような時空内での二つの空間的集合 $a$ と $b$ が、単一の滑らか座標パッチに同時に含まれないことを証明し、非自明な遷移関数を示唆する。
• 集合 $a$ と $b$ 間の光線軌道を解析し、局所的には滑らかであるが、滑らか座標の拡張ができないため、全球的には径方向座標として解釈できないことを指摘する。
• 重力レンズ効果とは対照的に、光線が曲率によって交差するのではなく、ここでの障害は幾何的ではなくトポロジカル（特異な滑らかさ）であると主張する。
• 標準的な宇宙論的モデルが、FRW 形式 $ds^2 = -dt^2 + a(t)^2 d\sigma_3^2$ を採用しているが、特異な $\mathbb{R}_{Θ}^4$ では滑らかでない座標遷移のため、これらは全球的に成立しないと結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異な滑らか構造を有する $\mathbb{R}^4$ が、アインシュタイン方程式を変更せず、暗黒エネルギーに類似した効果を説明できるか？
• RQ2 特異な $\mathbb{R}_{Θ}^4$ において、滑らか座標の全球的拡張が失敗することで、光線軌道が径方向座標として外挿可能であるという標準的仮定がどの程度無効になるか？
• RQ3 特異な微分構造は、遠方の天体から得られる宇宙論的データの解釈にどのように影響を与えるか？
• RQ4 暗黒エネルギー効果のためのトポロジー的説明は、新物質を導入したり重力を修正したりすることなく可能か？
• RQ5 特異な $\mathbb{R}_{Θ}^4$ における $S^3$ 球面の滑らかでない埋め込みが、観測可能な宇宙論的効果を引き起こすか？

主な発見

• ドナルドソン、フリードマン、ゴンプフらによって証明されたように、特異な滑らか構造を有する $\mathbb{R}^4$ が存在し、標準的構造とは微分同相でない。
• 特定の特異な $\mathbb{R}_{Θ}^4$ に対して、$R_1 < R_2$ となる半径 $R_1$ と $R_2$ が存在し、$R_0 < R_1$ のときのみ球面 $S_{R_0}^3$ が滑らかに埋め込まれるが、$R_0 \geq R_2$ のときには滑らかでなくなる。これは、全球的滑らか性の破綻を示している。
• このような時空内では、二つの集合 $a$ と $b$ が同時に一つの滑らか座標パッチに含まれないため、径方向座標系を全球的に定義することは不可能である。
• 遠方からの源からの光線軌道は局所的には滑らかだが、パッチ間の滑らかでない遷移関数のため、一貫した径方向座標としての外挿ができない。
• 標準的な仮定、すなわち宇宙論的データが全球的滑らか FRW 度様形式で解釈可能であるという仮定は、これらの特異なモデルでは成立しないが、アインシュタイン方程式や物質内容は変更されていない。
• これは、見かけの加速的膨張などの宇宙論的異常を説明するトポロジー的説明を提供する——暗黒エネルギーも修正重力も必要としない。