[論文レビュー] Counterexamples to continuity of optimal transportation on positively curved Riemannian manifolds

Young‐Heon Kim|ArXiv.org|Sep 11, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、リーマン多様体上の非負または正の断面曲率が最適輸送写像の連続性に必要な A3w 条件を意味するという予想に対して、明示的な反例を構成する。半径方向に対称な浅い円錐特異性とその滑らかな摂動を分析することで、正の曲率を持つ多様体でさえ、滑らかな測度に対して最適輸送写像が不連続になり得ることを示し、最適輸送とリーマン幾何学における長年の未解決問題を反証する。

ABSTRACT

Counterexamples to continuity of optimal transportation on Riemannian manifolds with everywhere positive sectional curvature are provided. These examples show that the condition A3w of Ma, Trudinger, & Wang is not guaranteed by positivity of sectional curvature.

研究の動機と目的

• 最適輸送に関する A3w 条件が、非負または正の断面曲率をもつ多様体で成立するかどうかを解明すること。
• 非負曲率から A3w が導かれるという予想を反証すること。この予想はトゥルディンガーによって懸念されており、球面上の既知の結果によって支持されていた。
• A3w を破るが、至る所で正（または非負）の曲率を持つ完全なリーマン多様体の明示的例を構成すること。
• このような多様体上でも、滑らかな出発測度および到達測度に対して不連続な最適輸送写像が存在しうることを示すこと。
• A3w の幾何的意味を明確化し、それが曲率の正性によって導かれるのではなく、より強く独立した条件であることを示すこと。

提案手法

• 0 < ϑ ≪ 1 として、断面角 2π−2ϑ の平坦な円錐の滑らかで径方向対称な摂動として 2 次元の曲面 Σ_ϑ を構成する。
• 原点を中心とする小さな球 B(O,1) の外部では曲率が 0（K≡0）となるようにし、内部では小さな正の曲率（0<K<1/10000）を保ちながら径方向対称性を維持する。
• 輸送コスト関数として、リーマン距離の二乗を用い、c(x,ȳ)=dist²(x,ȳ)/2 を採用する。
• コスト関数が広い領域で滑らかに微分可能であることを示し、測地線解析と c-線分の使用を可能にする。
• 原点付近の点で局所的 DASM（退化 A3w）条件が成立しないことを、曲がった領域内で曲がる c-線分の分析によって証明する。
• 高次元への拡張は、径方向対称性またはリーマン多様体の積を用い、摂動により厳密な正の曲率を達成しながら A3w の違反を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負断面曲率をもつ任意のリーマン多様体は、最適輸送の A3w 条件を満たすか？
• RQ2 正の断面曲率をもつ多様体が A3w を満たさないことはあり得るか？ その場合、不連続な最適輸送写像が生じ得るか？
• RQ3 A3w 条件は曲率の正性によって導かれるものか？ それとも、より強い独立した幾何的条件か？
• RQ4 開領域およびコンパクト領域の両方で明示的な反例を構成可能か？
• RQ5 交差曲率の幾何的役割は、最適輸送写像の正則性を決定づけるものか？

主な発見

• 本稿は、至る所で非負曲率をもつ 2 次元の完全なリーマン多様体を構成し、A3w 条件を破ることを示した。
• 構成された多様体は、小さな円錐角を持つ平坦な円錐の滑らかな径方向対称な摂動であり、有界領域内で小さな正の曲率を持つ。
• A3w の違反は、局所的 DASM 条件の失敗によって示され、曲がった領域内で直線から逸れる c-線分の分析によって裏付けられた。
• 2 次元の例を高次元の径方向多様体に等長埋め込みすることで、高次元への拡張が可能である。
• 非負曲率の例を摂動することで、コンパクトで正の曲率を持つ多様体を構成し、依然として A3w を破ることを示した。これにより、正の曲率が A3w を保証しないことが証明された。
• 結果として、トゥルディンガーの懸念が裏付けられ、A3w が曲率の正性の結果ではなく、独立的でより強い条件であることが明らかになった。