[論文レビュー] Counterexamples to the topological Tverberg conjecture

Florian Frick|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2015

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 10被引用数 45

ひとこと要約

本稿では、すべての整数 $ r \geq 6 $ で素数べきでないものおよび次元 $ d \geq 3r+1 $ に対して、トポロジカルTverberg予想の明示的な反例を構成する。MabillardとWagnerの一般化されたvan Kampen定理と、Özaydinの等変オブstruction理論を組み合わせることで、高次元単体からユークリッド空間への連続写像がTverberg型の一致を避けることができることを示し、これらの状況で予想が反証されることを示している。

ABSTRACT

The "topological Tverberg conjecture" by Bárány, Shlosman and Szűcs (1981) states that any continuous map of a simplex of dimension $(r-1)(d+1)$ to $\mathbb{R}^d$ maps points from $r$ disjoint faces of the simplex to the same point in $\mathbb{R}^d$. This was established for affine maps by Tverberg (1966), for the case when $r$ is a prime by Bárány et al., and for prime power $r$ by Özaydin (1987). We combine the generalized van Kampen theorem announced by Mabillard and Wagner (2014) with the constraint method of Blagojević, Ziegler and the author (2014), and thus prove the existence of counterexamples to the topological Tverberg conjecture for any number $r$ of faces that is not a prime power. However, these counterexamples require that the dimension $d$ of the codomain is sufficiently high: the smallest counterexample we obtain is for a map of the $100$-dimensional simplex to $\mathbb{R}^{19}$, for $r=6$.

研究の動機と目的

• すべての整数 $ r \geq 6 $ で素数べきでないものに対して、トポロジカルTverberg予想を反証すること。
• 従来知られていた素数べきのケースを超えて、予想の失敗を拡張すること。
• 互いに素な面の像の $ r $ 重の交わりを避ける、高次元単体からユークリッド空間への連続写像を構成すること。
• 制約法と等変オブstruction理論が、このような反例を体系的に生成するために用いられることを示すこと。
• 一般の $ r $ に対して、予想の正当性が成り立つかどうかという、長年の未解決問題を解決すること。

提案手法

• MabillardとWagnerの一般化されたvan Kampen定理を活用し、$ r $ 個の互いに素な面写像の存在が、球面への $ \mathfrak{S}_r $-等変写像の存在と関連することを示す。
• Özaydinの結果を応用して、非素数べきの群作用に対して等変写像が存在することを示し、$ r $ が素数べきでないとき、$ \mathfrak{S}_r $-等変写像が $ S(W_r^{\oplus rk}) $ に存在することを示す。
• 任意の $ r $ 個の互いに素な面が、次元が高々 $ (r-1)k $ であるような連続写像 $ f: \Delta_N \to \mathbb{R}^{rk} $ を構成し、それらの像の共通部分集合が空であることを保証する。
• 高次元の目標空間において交わりを防ぐために、$ (r-1)k $-スケルトンからの距離を座標として追加することで、この写像を $ F: \Delta_N \to \mathbb{R}^{rk+1} $ に拡張する。
• 次元数え上げの議論により、$ r $ 個の高次元セルを持つような面の $ r $ 重組が存在した場合、それらは $ N+1 $ 個より多くの頂点を必要とし、矛盾が生じることを示す。
• 制約法とオブstruction理論的手法を組み合わせ、問題をSylow $ p $-部分群作用に還元し、球面上の固定点性質を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数 $ r \geq 2 $ に対して、トポロジカルTverberg予想は常に成り立つか、それとも $ r $ が素数べきでない場合に反例が存在するか？
• RQ2 一般化されたvan Kampen定理を用いて、互いに素な面の像の $ r $ 重交わりを避ける連続写像を構成できるか？
• RQ3 非素数べきの $ r $ に対して、トポロジカルTverberg予想が失敗する最小の次元 $ d $ は何か？
• RQ4 Özaydin や Mabillard–Wagner のようなオブstruction理論的手法は、このような反例を体系的に生成するためにどれほど有効か？
• RQ5 制約法を用いて、$ r $ 重の消滅条件を、Tverberg型の一致を防ぐトポロジカルオブstructionに変換できるか？

主な発見

• 整数 $ r \geq 6 $ で素数べきでないものおよび次元 $ d \geq 3r+1 $ に対して、トポロジカルTverberg予想は成立しない。
• 任意の6個の互いに素な面の像の共通部分集合が空であるような連続写像 $ F: \Delta_{100} \to \mathbb{R}^{19} $ が存在し、これは現在知られている最小の反例である。
• 非素数べきの $ r $ に対して、任意の $ N $ に対して、連続写像 $ f: \Delta_N \to \mathbb{R}^{rk} $ が存在し、任意の $ r $ 個の互いに素な面 $ \sigma_i $ について $ \dim \sigma_i \leq (r-1)k $ ならば $ f(\sigma_1) \cap \cdots \cap f(\sigma_r) = \emptyset $ が成り立つ。
• 非素数べきの $ r $ に対して、$ \mathfrak{S}_r $-等変写像が球面へ存在しないことにより、Sylow部分群作用における固定点のオブstructionによって、このような写像の存在が保証される。
• この構成は、$ S(W_r^{\oplus rk}) $ が $ (d-2) $-連結であること、および $ r $ が非素数べきのとき $ \mathfrak{S}_r $-等変写像が存在すること（被覆空間の固定点による）に依存している。
• 反例は次元削減に対して安定である：次元 $ d+1 $ で予想が失敗すれば、次元 $ d $ でも失敗するため、すべての $ d \geq 3r+1 $ で失敗が成立する。