[論文レビュー] Eliminating Higher-Multiplicity Intersections, I. A Whitney Trick for Tverberg-Type Problems

Isaac Mabillard, Uli Wagner|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2015

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 44被引用数 31

ひとこと要約

本稿は、余次元 ≥3 の条件下で、r 個の互いに素な単体の逆像を持つ点（r-Tverberg 点）を消去するための高次元のホイットニー技を導入する。次元 K = (r−1)k および d = rk で k ≥ 3 のとき、削除積基準（DPC）が r-Tverberg 点の存在に必要な十分条件であることを証明し、トポロジカル Tverberg 猜想を解消するための重要な道具を提供する。

ABSTRACT

Motivated by topological Tverberg-type problems and by classical results about embeddings (maps without double points), we study the question whether a finite simplicial complex K can be mapped into R^d without triple, quadruple, or, more generally, r-fold points. Specifically, we are interested in maps f from K to R^d that have no r-Tverberg points, i.e., no r-fold points with preimages in r pairwise disjoint simplices of K, and we seek necessary and sufficient conditions for the existence of such maps. We present a higher-multiplicity analogue of the completeness of the Van Kampen obstruction for embeddability in twice the dimension. Specifically, we show that under suitable restrictions on the dimensions, a well-known Deleted Product Criterion (DPC) is not only necessary but also sufficient for the existence of maps without r-Tverberg points. Our main technical tool is a higher-multiplicity version of the classical Whitney trick. An important guiding idea for our work was that sufficiency of the DPC, together with an old result of Ozaydin on the existence of equivariant maps, might yield an approach to disproving the remaining open cases of the long-standing topological Tverberg conjecture. Unfortunately, our proof of the sufficiency of the DPC requires a "codimension 3" proviso, which is not satisfied for when K is the N-simplex. Recently, Frick found an extremely elegant way to overcome this last "codimension 3" obstacle and to construct counterexamples to the topological Tverberg conjecture for d at least 3r+1 (r not a prime power). Here, we present a different construction that yields counterexamples for d at least 3r (r not a prime power).

研究の動機と目的

• 単体的複体 K から R^d への連続写像 f が r-Tverberg 点を持たないための必要十分条件を確立すること。ここで r ≥ 2 とする。
• 古典的埋め込み理論（特に Van Kampen 障害）を、高次元の Tverberg 型問題へ一般化すること。
• 符号が反対の孤立した r 重点を局所的な写像変更によって消去できるトポロジカル技法を開発すること。
• r が素数のべきでない場合の残りの未解決ケースにおいて、トポロジカル Tverberg 猜想の反証に貢献すること。
• 制約法に依存しない方法で、d ≥ 3r かつ r が素数のべきでない場合のトポロジカル Tverberg 猜想の反例を新たに構成すること。

提案手法

• 余次元 d − dim K ≥ 3 を仮定して、符号が反対の孤立した r 重点を局所的な写像変更によってキャンセルする高次元ホイットニー技を構築する。
• 可縮的線形トポロジーと方向性理論を用いて交点の符号を定義することで、グローバル問題を標準的な局所モデルに還元する。
• パイピングおよびアンパイピング技術を用いて、錐的写像における (m−1)-単体の像を変更し、リンク数および交点コサイクルを変化させる。
• 等変障害理論および交点数コサイクルを用いて、削除積複体における錐的交点数を定義・追跡する。
• K = σ^N × σ^k に錐的写像構造を導入し、Tverberg 型配置をモデル化し、その交点行動を分析する。
• dim K = (r−1)k および d = rk で k ≥ 3 のとき、削除積基準（DPC）が r-Tverberg 点の存在に必要な十分条件であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、削除積基準（DPC）が R^d への写像 f: K → R^d が r-Tverberg 点を持たないための必要十分条件となるか？
• RQ2 余次元 d − dim K ≥ 3 の下で、符号が反対の孤立した r 重点を高次元ホイットニー技が消去可能か？
• RQ3 DPC が r-Tverberg 点回避に十分であるという性質が、臨界次元ケース d = (r−1)/r ⋅ dim K に拡張可能か？
• RQ4 制約法とは独立した方法で、d ≥ 3r かつ r が素数のべきでない場合のトポロジカル Tverberg 猜想の反例を構成可能か？
• RQ5 パイピングのような局所的変更において、錐的交点数コサイクルはどのように変化し、r-Tverberg 点の検出にどのような役割を果たすか？

主な発見

• dim K = (r−1)k および d = rk で k ≥ 3 かつ余次元 d − dim K ≥ 3 のとき、削除積基準（DPC）は r-Tverberg 点を持たない写像の存在に必要な十分条件である。
• 余次元 ≥ 3 の下で、符号が反対の孤立した r 重点を局所的写像変更によって消去可能な高次元ホイットニー技が構築された。
• 本稿は、d ≥ 3r かつ r が素数のべきでないすべてのケースについて、Frick が用いた制約法とは独立した反例の新たな構成を提供する。
• 符号が負の球とリンクする単一のパイピング移動では、錐的交点数コサイクルが −1 変化し、障害類の制御的変更が可能になる。
• DPC の十分性は、余次元条件が成立する場合に r-Tverberg 点を消去できる写像の変更能力に依拠する証明により確立された。
• 結果として、DPC が臨界次元範囲 d = (r−1)/r ⋅ dim K において余次元 ≥3 条件の下で完全な障害であることが示され、古典的 Van Kampen 障害の埋め込みへの一般化が得られた。