[論文レビュー] Counting and equidistribution in Heisenberg groups

Jouni Parkkonen, Paulin, Frédéric|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 51被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、虚二次体上の算術的格子と複素双曲幾何を用いて、ヘイゼンベルク群における算術的鎖および立方点の漸近的数え上げと一様分布の結果を確立する。Cygan径がε以上である鎖の数に対するメルテンス型の公式を証明し、ε⁻⁴に比例する漸近的成長を示し、鎖の径が0に近づく際に鎖の中心の一様分布が成立することを示している。

ABSTRACT

We strongly develop the relationship between complex hyperbolic geometry and arithmetic counting or equidistribution applications, that arises from the action of arithmetic groups on complex hyperbolic spaces, especially in dimension $2$. We prove a Mertens' formula for the integer points over a quadratic imaginary number fields $K$ in the light cone of Hermitian forms, as well as an equidistribution theorem of the set of rational points over $K$ in Heisenberg groups. We give a counting formula for the cubic points over $K$ in the complex projective plane whose Galois conjugates are orthogonal and isotropic for a given Hermitian form over $K$, and a counting and equidistribution result for arithmetic chains in the Heisenberg group when their Cygan diameter tends to $0$.

研究の動機と目的

• ヘイゼンベルク群における算術的鎖の、算術的格子の作用の下での漸近的数え上げおよび一様分布の結果を確立すること。
• 与えられたヘルミート形式の光円錐における整数点の数に対するメルテンス型の公式を導出すること。
• 与えられたヘルミート形式に関して、ガロア共役が直交的かつ自己同型であるようなK上の中間立方点の数え上げ公式を証明すること。
• 鎖のCygan径が0に近づく際、有限算術的鎖の中心が超球面において一様分布することを分析すること。
• ピンチング負曲率空間における共通垂線の幾何的数え上げ技法を、複素双曲幾何の設定に拡張すること。

提案手法

• ピンチング負曲率空間における凸部分集合間の共通垂線の幾何的数え上げ結果を、複素双曲幾何に適合させたもの。
• 複素双曲空間における共通垂線の初期および終端接ベクトルの一様分布定理を適用する。
• 鎖の径を測定し、複雑さを定義するために、ヘイゼンベルク群におけるCygan距離を自然な計量として用いる。
• 複素射影平面における算術的格子 PSU_q(O_K) 及びその安定化部分群の作用を用いて、鎖および立方点の軌道を定義する。
• ヘイゼンベルク群およびその部分群における体積および共体積の測度論的計算に依拠し、漸近公式における明示的定数を導出する。
• ヘイゼンベルク群から無限遠境界への直交射影による測度の押し出しを用いて、鎖の中心の一様分布を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘイゼンベルク群における算術的鎖の数は、そのCygan径の関数としてどのように増加するか？
• RQ2 鎖の径が0に近づく際に、有限算術的鎖の中心はヘイゼンベルク群において一様分布するか？
• RQ3 ガロア共役が与えられたヘルミート形式に関して自己同型かつ直交的であるような、虚二次体K上の立方点の漸近的数え上げは何か？
• RQ4 負曲率空間における共通垂線の幾何的数え上げ技法を、複素双曲幾何の設定にどのように適合させられるか？
• RQ5 算術的鎖および立方点の数え上げ・一様分布に関する漸近公式における正確な定数は何か？

主な発見

• 点の安定化部分群に関する算術的鎖の数は、Cygan径がε以上である場合、c·ε⁻⁴(1 + O(ε^κ)) の形で漸近的に増加する。ここでc > 0 および κ > 0 は明示的である。
• 鎖の径が0に近づく際、有限算術的鎖の中心はヘイゼンベルク群において一様分布し、弱*収束によりハール測度に収束する。
• K上の中間立方点で、共役が自己同型かつ直交的であるような点の数は、複雑さc(z) ≤ s に対して、C·s⁴(1 + O(s⁻^κ)) の形で漸近的に増加する。ここでC > 0 および κ > 0 は明示的である。
• 鎖の漸近的数え上げ公式には、ゼータ関数 ζ_K(3)、判別式 |D_K|、および格子の共体積を含む明示的定数が含まれており、収束速度はO(ε^κ)である。
• K = Q(i) の場合、数え上げ公式は ψ_{C₀, PSU_q(Z[i])}(ε) = (16πζ(3)/(3ζ_Q(i)(3)))·ε⁻⁴(1 + O(ε^κ)) を得る。
• 一様分布の結果は明示的計算により確認された：ε⁴倍した鎖の中心におけるディラック測度の和は、弱*収束でヘイゼンベルク群上のハール測度に収束する。