[論文レビュー] Counting, Fanout, and the Complexity of Quantum ACC

Frederic Green, Steven Homer+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2001

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、定数深さかつ無限ファンインを許容する量子回路として、古典的回路クラスの量子版である ${\sf{QAC}}^{0}$ と ${\sf{QACC}}[q]$ を定義する。ファンアウトゲートが定数深さで ${\rm MOD}_q$ ゲートを構築可能であることを示し、すべての $q > 1$ に対して ${ \sf{QAC}}_{\rm wf}^{0} = { \sf{QACC}}[q] = { \sf{QACC}}$ が成り立つことを示し、古典的 ${\sf{ACC}}[q]$ クラスに比べて顕著な量子優位性を示している。

ABSTRACT

We propose definitions of $\QAC^0$, the quantum analog of the classical class $\AC^0$ of constant-depth circuits with AND and OR gates of arbitrary fan-in, and $\QACC[q]$, the analog of the class $\ACC[q]$ where $\Mod_q$ gates are also allowed. We prove that parity or fanout allows us to construct quantum $\MOD_q$ gates in constant depth for any $q$, so $\QACC[2] = \QACC$. More generally, we show that for any $q,p > 1$, $\MOD_q$ is equivalent to $\MOD_p$ (up to constant depth). This implies that $\QAC^0$ with unbounded fanout gates, denoted $\QACwf^0$, is the same as $\QACC[q]$ and $\QACC$ for all $q$. Since $\ACC[p] e \ACC[q]$ whenever $p$ and $q$ are distinct primes, $\QACC[q]$ is strictly more powerful than its classical counterpart, as is $\QAC^0$ when fanout is allowed. This adds to the growing list of quantum complexity classes which are provably more powerful than their classical counterparts. We also develop techniques for proving upper bounds for $\QACC^0$ in terms of related language classes. We define classes of languages $\EQACC$, $\NQACC$ and $\BQACC_{ ats}$. We define a notion of $\log$-planar $\QACC$ operators and show the appropriately restricted versions of $\EQACC$ and $\NQACC$ are contained in $¶/\poly$. We also define a notion of $\log$-gate restricted $\QACC$ operators and show the appropriately restricted versions of $\EQACC$ and $\NQACC$ are contained in $\TC^0$.

研究の動機と目的

• 古典的回路クラス ${\sf{AC}}^0$ および ${\sf{ACC}}[q]$ の量子版を定義・形式化すること、具体的には ${\sf{QAC}}^{0}$ および ${\sf{QACC}}[q]$ を定義すること。
• ファンアウトまたは ${\rm MOD}_q$ ゲートを備えた量子回路が、それらの古典的類似物よりも高い計算能力を達成できるかどうかを調査すること。
• 回路構造を制限することにより、量子言語クラス ${\sf{EQACC}}$、${\sf{NQACC}}$、および ${\sf{BQACC}}_{{\bf Q}}$ の上界を確立すること。
• 量子回路の深さ、ファンアウト、およびモジュラー数え上げ関数の計算能力との関係を調査すること。

提案手法

• ${\sf{QAC}}^{0}$ を、1キュービットゲート、Toffoliゲート、ファンアウトなしの定数深さ量子回路として定義する。${\sf{QAC}}_{\rm wf}^{0}$ を、ファンアウトゲートを含むものとして定義する。
• ${\sf{QACC}}[q]$ を、${\sf{QAC}}^{0}$ に量子 ${\rm MOD}_q$ ゲートを拡張したものとして定義し、${\sf{QACC}} = \bigcup_q {\sf{QACC}}[q]$ とする。
• ファンアウトによりカチノート状態（cat state）を生成できることを示し、これにより $n$-アリティパリティゲートを定数深さで構築可能であることを証明する。
• 任意の $q > 1$ に対して、${\rm MOD}_q$ ゲートが定数深さで ${\rm MOD}_p$ ゲートと同等であることを示し、${\sf{QACC}}[q] = {\sf{QACC}}[p]$ を示す。
• 複雑さを制限するため、対数的平面的および対数的ゲート制限付き ${\sf{QACC}}$ 演算子を導入する。
• 色が一貫した経路を持つテンソルグラフ表現を用いて振幅をシミュレートし、${\sf{P}}/{\sf{poly}}$ および ${\sf{TC}}^0$ への包含関係を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ${\sf{QAC}}^{0}$ 内でファンアウトゲートを定数深さで構築できるか、それとも ${\sf{QAC}}^{0} \subset {\sf{QAC}}_{\rm wf}^{0}$ であるか？
• RQ2 ${\sf{QAC}}_{\rm wf}^{0}$ は ${\sf{QTC}}^{0}$ に等しいか、すなわち量子スイッチングゲートを定数深さで構築可能か？
• RQ3 量子言語クラス ${\sf{EQACC}}$、${\sf{NQACC}}$、および ${\sf{BQACC}}_{{\bf Q}}$ は、${\sf{TC}}^0$ または ${\sf{P}}/{\sf{poly}}$ に含まれるか？
• RQ4 古典的 ${\sf{ACC}}$ の証明技法（例：Valiant-Vazirani、Toda多項式）を量子設定に適応可能か？
• RQ5 固定深さ量子回路、特に深さ2の ${\sf{QACC}}$ 回路の正確な複雑さは何か？

主な発見

• 定数深さでのファンアウトゲートにより、$n$-アリティパリティゲートを構築可能であり、これにより ${\sf{QAC}}_{\rm wf}^{0}$ は定数深さで任意の ${\rm MOD}_q$ 機能を計算可能である。
• 任意の $q > 1$ に対して、${\sf{QACC}}[q] = {\sf{QACC}}$ が成り立つ。これは、$q$ の選択がクラスの計算能力に影響しないことを意味する。
• すべての $q > 1$ に対して、${\sf{QAC}}_{\rm wf}^{0} = {\sf{QACC}}[q]$ が成り立つため、${\sf{QAC}}_{\rm wf}^{0} = {\sf{QACC}}$ が成立する。
• 対数的平面的制限下では、言語クラス ${\sf{EQACC}}_{\rm pl}^{\log}$ および ${\sf{NQACC}}_{\rm pl}^{\log}$ は ${\sf{P}}/{\sf{poly}}$ に含まれる。
• 対数的ゲート制限モデル下では、言語クラス ${\sf{EQACC}}_{\rm gates}^{\log}$ および ${\sf{NQACC}}_{\rm gates}^{\log}$ は ${\sf{TC}}^0$ に含まれる。
• 多項式時間の均一性仮定のもと、$p$-均一 ${Σ}^{\rm NQACC}_{\rm pl}^{\log}$ は ${\sf{P}}$ に属し、$p$-均一 ${Σ}^{\rm NQACC}_{\rm gates}^{\log}$ は $p$-均一 ${\sf{TC}}^0$ に属する。