[論文レビュー] On the Complexity of Quantum ACC

F. Green, Steven Homer+1 more|ArXiv.org|Feb 21, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、量子計算複雑性理論における未解決問題を解決し、任意の q > 1 に対して量子 MODq ゲートが等価であることを証明することで、QACC = QACC[q] を示している。また、対数的制限がかけられた平面性またはゲート数を持つ量子回路は、それぞれ P/poly および TC(0) に含まれることを示しており、テンソルグラフ表現と量子フーリエ変換技術を用いて回路複雑性を制限している。

ABSTRACT

For any $q > 1$, let $\MOD_q$ be a quantum gate that determines if the number of 1's in the input is divisible by $q$. We show that for any $q,t > 1$, $\MOD_q$ is equivalent to $\MOD_t$ (up to constant depth). Based on the case $q=2$, Moore \cite{moore99} has shown that quantum analogs of AC$^{(0)}$, ACC$[q]$, and ACC, denoted QAC$^{(0)}_{wf}$, QACC$[2]$, QACC respectively, define the same class of operators, leaving $q > 2$ as an open question. Our result resolves this question, proving that QAC$^{(0)}_{wf} =$ QACC$[q] = $ QACC for all $q$. We also develop techniques for proving upper bounds for QACC in terms of related language classes. We define classes of languages EQACC, NQACC and BQACC$_{ ats}$. We define a notion $\log$-planar QACC operators and show the appropriately restricted versions of EQACC and NQACC are contained in P/poly. We also define a notion of $\log$-gate restricted QACC operators and show the appropriately restricted versions of EQACC and NQACC are contained in TC$^{(0)}$. To do this last proof, we show that TC$^{(0)}$ can perform iterated addition and multiplication in certain field extensions. We also introduce the notion of a polynomial-size tensor graph and show that families of such graphs can encode the amplitudes resulting from apply an arbitrary QACC operator to an initial state.

研究の動機と目的

• QACC[q] がすべての q > 2 に対して QACC と等しいかどうかという未解決問題を解き、Moore の q=2 の場合の結果を拡張すること。
• 特に EQACC、NQACC、BQACC を含む、量子回路族によって定義される言語クラスの上界を証明するための技術を開発すること。
• 平面性およびゲート数の制約の下での制限付き QACC 回路の計算能力を特徴づけること。
• QACC 演算子からの振幅が多項式サイズのテンソルグラフで符号化され、計算可能であることを示し、複雑性解析を可能にすること。

提案手法

• 任意の QACC 演算子が入力状態に作用した際の振幅を符号化する多項式サイズのテンソルグラフモデルを導入する。
• 複素数の q 乗根を用いた量子フーリエ変換を用い、MODq ゲートをシミュレートし、異なる q に対する等価性を確立する。
• QACC ユニタリ変換後のターゲット状態を観測する確率の期待値に基づいて、言語クラス EQACC、NQACC、BQACC を定義する。
• 振幅をテンソルグラフ内のパスの和として表すために、対数色深さ分解を適用し、回路構築を可能にする。
• 平面性制約（対数平面的 QACC）の下では、振幅が多項式サイズの回路を用いて P/poly で計算可能であることを示す。
• ゲート数制約（対数ゲート QACC）の下では、体拡張における反復加算と乗算をシミュレートすることで、振幅が TC(0) で計算可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Moore の q=2 の結果に残された未解決問題を解き、すべての q > 2 に対して QACC[q] が QACC と等しいかどうか？
• RQ2 対数平面的または対数ゲート構成に制限された場合に、QACC の計算能力がどのように制限されるか？
• RQ3 EQACC、NQACC、BQACC といった言語クラスは、P/poly や TC(0) といった古典的複雑性クラスに含まれるか？
• RQ4 深さと色の一貫性が制限されたテンソルグラフを用いて、QACC 回路からの量子振幅を効率的に表現・計算できるか？
• RQ5 量子フーリエ変換は、量子回路における異なる MODq ゲートの等価性を実現するために果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、任意の q, t > 1 に対して、MODq が定数深さの範囲で MODt と等価であることを証明し、すべての q ≥ 2 に対して QACC[q] = QACC であるという未解決問題を解決した。
• QAC(0)_wf = QACC[q] = QACC がすべての q ≥ 2 に対して成り立つことが示され、量子設定下ではパリティゲートが他の任意の MODq ゲートよりも強力ではないことが明らかになった。
• 平面性制限下では NQACC_pl^log ⊆ P/poly が成り立ち、ゲート数制限下では NQACC_gates^log ⊆ TC(0) が成り立つ。
• 同様に、EQACC_pl^log ⊆ P/poly および EQACC_gates^log ⊆ TC(0) が成り立ち、BQACC_Q に対しても同様の結果が得られた。
• 本稿は、QACC 回路内の振幅が、対数色深さを持つ多項式サイズのテンソルグラフとして表現可能であることを示し、効率的な回路構築を可能にした。
• TC(0) が体拡張における反復加算と乗算を計算できることを証明し、これは制限付き QACC 回路を TC(0) でシミュレートする上で不可欠である。