[論文レビュー] Counting genus one partitions and permutations

Robert Cori, Gábor Hetyei|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2013

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 19被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、M. Yipの予想を証明している。n 個の要素と k 個の部屋を持つ genus one 分割の数は、n−1 個の要素と k−1 個のサイクルを持つ genus one 置換の数に等しい。著者たちは、新規の四色非交叉分割表現を用いて、削減された genus one 置換に対して双対写像を構築し、インデックスのシフトによって予想を確認する生成関数を導出する。

ABSTRACT

We prove the conjecture by M. Yip stating that counting genus one partitions by the number of their elements and parts yields, up to a shift of indices, the same array of numbers as counting genus one rooted hypermonopoles. Our proof involves representing each genus one permutation by a four-colored noncrossing partition. This representation may be selected in a unique way for permutations containing no trivial cycles. The conclusion follows from a general generating function formula that holds for any class of permutations that is closed under the removal and reinsertion of trivial cycles. Our method also provides a new way to count rooted hypermonopoles of genus one, and puts the spotlight on a class of genus one permutations that is invariant under an obvious extension of the Kreweras duality map to genus one permutations.

研究の動機と目的

• インデックスをずらしたとき、genus one 分割と genus one 置換が同じ数え上げ配列をもたらすという M. Yip の予想を解消すること。
• 四色非交叉分割を用いた genus one 置換の組合せ的表現を開発すること。
• 自明なサイクルを含まない削減済み genus one 置換（つまり、連続する要素のサイクルを含まないもの）の標準的表現を確立し、一意的な数え上げを可能にすること。
• 自明なサイクルの挿入／削除に関して閉じていることを利用し、genus one 置換と分割の生成関数を導出すること。
• genus one 組合せ論と、タイプB非交叉分割、凸多ポリオミノ、ヤコビ配置などの他の構造との間の関係を明らかにすること。

提案手法

• 各 genus one 置換を、位数を保つ再ラベルルールに対応する四色非交叉分割として表現する。
• 自明なサイクル（連続する要素のサイクル）を含まない削減済み genus one 置換の標準的表現を導入し、一意性を保証する。
• 自明なサイクル操作に関して閉じた置換のクラスを生成関数でモデル化し、数え上げ結果の移行を可能にする。
• genus one 分割と置換の生成関数を導出し、それらが $xy$ の因子を除いて同一であることを示し、インデックスのシフトによる等価性を証明する。
• ナラヤナ数、カタラン数、レジェンドル多項式に関する既知の結果を活用し、係数の解釈とタイプB非交叉分割への接続を示す。
• 凸多ポリオミノとヤコビ配置に関する Gessel と Strehl の結果を応用し、生成関数の係数を解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n 個の要素と k 個の部屋を持つ genus one 分割の数は、n−1 個の要素と k−1 個のサイクルを持つ genus one 置換の数に等しいか？
• RQ2 自明なサイクルが存在しない場合でも、genus one 置換は四色非交叉分割を用いて一意に表現可能か？
• RQ3 自明なサイクルの挿入／削除に関して閉じていることから、生成関数をどのように用いて genus one 置換と分割を数え上げることができるか？
• RQ4 genus one 構造とタイプB非交叉分割や凸多ポリオミノなどの対象との間には、より深い組合せ論的関係が存在するか？
• RQ5 genus one 分割の生成関数は、レジェンドル多項式やヤコビ配置といった既知の組合せモデルを用いて解釈可能か？

主な発見

• M. Yip の予想が確認された：n 個の要素と k 個の部屋を持つ genus one 分割の数は、n−1 個の要素と k−1 個のサイクルを持つ genus one 置換の数に等しい。
• 自明なサイクルを含まない削減済み genus one 置換に対して、四色非交叉分割による標準的表現が存在し、一意的な数え上げが可能である。
• genus one 置換と分割の生成関数は、$xy$ の因子を除いて同一であり、インデックスのシフトによる等価性が証明された。
• 生成関数の係数は、Gessel と Strehl によって示されたように、タイプB非交叉分割、凸多ポリオミノ、ヤコビ配置と関連している。
• 正確に1つのバックポイントをもつ genus one 置換の数は $p_1(n,k) = inom{n}{3} N(n-2,k-1)$ に等しく、ここで $N(n-2,k-1)$ はナラヤナ数である。
• m=0 のとき、生成関数 $ (1 - 2(1+y)x + x^2(1-y)^2)^{-(2m+1)/2} $ は、A008459 に従って数えられる係数を生成し、二項係数の平方とタイプB非交叉分割に対応する。