[論文レビュー] Simultaneous avoidance of generalized patterns

Sergey Kitaev, Toufik Mansour|ArXiv.org|May 16, 2002

semigroups and automata theory参考文献 20被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、一般化された3パターン123、231、312を同時に回避する順列の列挙における最後の未解決事例を、その指数型母関数を導出することで解決する。さらに、構造的分解と母関数技法を用いて、特定のkパターン（増加、減少、巡回シフトを含む）で始まるか終わる一般化された3パターンを回避する順列の母関数および正確な公式を提供する。

ABSTRACT

In [BabStein] Babson and Steingr\'ımsson introduced generalized permutation patterns that allow the requirement that two adjacent letters in a pattern must be adjacent in the permutation. In [Kit1] Kitaev considered simultaneous avoidance (multi-avoidance) of two or more 3-patterns with no internal dashes, that is, where the patterns correspond to contiguous subwords in a permutation. There either an explicit or a recursive formula was given for all but one case of simultaneous avoidance of more than two patterns. In this paper we find the exponential generating function for the remaining case. Also we consider permutations that avoid a pattern of the form $x-yz$ or $xy-z$ and begin with one of the patterns $12... k$, $k(k-1)... 1$, $23... k1$, $(k-1)(k-2)... 1k$ or end with one of the patterns $12... k$, $k(k-1)... 1$, $1k(k-1)... 2$, $k12... (k-1)$. For each of these cases we find either the ordinary or exponential generating functions or a precise formula for the number of such permutations. Besides we generalize some of the obtained results as well as some of the results given in [Kit3]: we consider permutations avoiding certain generalized 3-patterns and beginning (ending) with an arbitrary pattern having either the greatest or the least letter as its rightmost (leftmost) letter.

研究の動機と目的

• 3つの内部ダッシュのない3パターンの同時回避の分類を完了し、123、231、312の回避という最後の未解決事例を解消すること。
• 12...k、k(k-1)...1、23...k1、(k-1)...1kなどの特定のkパターンで始まるか終わる、形式x-xyまたはxy-zの一般化された3パターンを回避する順列を特徴付けること。
• 最大または最小要素が先頭または末尾にあるパターンに拡張することで、初期または最終パターン制約を課したパターン回避順列に関する先行結果を一般化すること。
• 構造的分解と母関数恒等式を用いて、一般化された3パターンを回避し、初期/最終パターン制約を満たす順列の包括的な母関数フレームワークを提供すること。

提案手法

• 再帰的分解と母関数の操作を用いて、3つの3パターン123、231、312を回避する順列の指数型母関数（e.g.f.）を導出する。
• 逆転および補完操作を用いて、あるパターンで始まる順列と関連するパターンで終わる順列を関連付け、対称性に基づく削減を可能にする。
• 構造的分解を適用：ある順列が減少または増加部分語で終わる場合、特定のパターンを独立に回避する接頭辞と接尾辞に分割する。
• 例えば $ B_{n+1,k} = inom{n}{i} B_{i,k} + inom{n}{k-1} $ のような再帰的関係式を確立し、それらを指数型母関数を用いて解く。
• 既知のパターン回避順列の結果（例：1-3-2の回避）を逆転および補完変換することで、新たな母関数を導出する。
• 積分表現 $ e^{e^x} $ および $ e^{-e^t + t} $ を用いて、減少kパターンで始まり3-12や3-21を回避する順列の母関数を表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 123、231、312という3つの一般化された3パターンを同時に回避する順列の指数型母関数は何か？
• RQ2 12…k や k(k-1)…1 などの特定のkパターンで始まり、一般化された3パターン（形式x-xyまたはxy-z）を回避する順列の数は何か？
• RQ3 一般化された3パターンを回避し、kパターンで始まる順列の数は、初期セグメントにおける最大または最小要素の位置にどのように依存するか？
• RQ4 kパターンで始まる順列に関する結果を、最大または最小要素が末尾または先頭にあるパターンに拡張することは可能か？
• RQ5 3-12を回避し、減少kパターンで始まる順列の母関数は何か？

主な発見

• 123、231、312を同時に回避する順列の指数型母関数が導出され、3つの3パターンの同時回避の分類が完全に完了した。
• 12…k で始まり2-31を回避する順列の指数型母関数は $ x^k C^2(x) $ であり、ここで $ C(x) $ はカタラン数の母関数である。
• 2-31を回避し、(k-1)(k-2)…1k で始まる順列の数は $ n \geq k $ のとき $ C_{n-(k-1)} $、それ以外の場合は 0 である。
• 3-12を回避し、減少kパターンで始まる順列の指数型母関数は $ k \geq 2 $ のとき $ \left(e^{e^x}/(k-1)\right) \int_0^x t^{k-1} e^{-e^t + t} dt $、$ k=1 $ のときは $ e^{e^x - 1} $ である。
• 3-21を回避し、(k-1)(k-2)…1k で始まる順列の数は $ k \geq 4 $ のとき 0 であり、$ k=2,3 $ のときは同じ積分母関数で与えられ、$ k=1 $ のときは $ e^{e^x - 1} $ である。
• 定理28は、3-12および3-21の回避に関する結果を一般化し、補完およびパターン双対性の下で、$ \Gamma_k^{\min} $ や $ \Gamma_k^{\max} $ に属するパターンで始まる順列の母関数が等しいことを示し、$ e^{e^x} $ と積分を含む統一的な表現を導出する。