[論文レビュー] Counting the occurrences of generalized patterns in words generated by a morphism

Sergey Kitaev, Toufik Mansour|ArXiv.org|Oct 11, 2002

semigroups and automata theory参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、1-2、2-1、123、および1-1-...-1などの一般化された置換パターンの、自己相似的構造を持つ系列（例：1→123、2→13、3→2）の有限近似における出現回数を数える手法を開発する。同様の自己写像に基づく反復的構成法を用い、例えば、n回目の反復における1-2パターンの出現回数が $3 \cdot 4^{n-1} + 2^n$ であることを示した。主な貢献は、構造的分解と再帰関係を用いた、自己相似系列におけるパターン出現回数を体系的に数えるフレームワークを確立したことである。

ABSTRACT

We count the number of occurrences of certain patterns in given words. We choose these words to be the set of all finite approximations of a sequence generated by a morphism with certain restrictions. The patterns in our considerations are either classical patterns 1-2, 2-1, 1-1-...-1, or arbitrary generalized patterns without internal dashes, in which repetitions of letters are allowed. In particular, we find the number of occurrences of the patterns 1-2, 2-1, 12, 21, 123 and 1-1-...-1 in the words obtained by iterations of the morphism 1->123, 2->13, 3->2, which is a classical example of a morphism generating a nonrepetitive sequence.

研究の動機と目的

• 有限近似における自己相似系列内の一般化置換パターンの出現回数を数える手法の開発。
• 内部ダッシュのないパターンおよび繰り返しのある文字を含む一般化パターンへの古典的手法の拡張。
• 例えば1→123、2→13、3→2によって生成される非反復的系列のような特定の自己相似系列におけるパターン出現回数の正確な閉形式公式の提供。
• 外部パターン出現を除外できる条件の確立により、構造的分解を用いた再帰的数え上げが可能になること。

提案手法

• 著者らは有限アルファベット上の写像を定義し、固定点の反復により系列を生成する。特に、有限近似 $\phi^n(1)$ に注目する。
• 写像の像内の部分列 $X_i$ と $X_j$ の間でパターン $\tau$ の外部出現（external occurrence）を定義する。
• 内部ダッシュのないパターンに対して、再帰式 $N^\tau_\phi(n) = (d + \ell)^{n-2} \sum_{i=1}^k s_i$ を導出する（$n \geq 2$）。ここで $s_i$ は $X_i$ 内部の出現回数を表し、$d, \ell$ は写像構造から得られるパラメータである。
• 各部分列が反復写像内で何回出現するかに基づく組合せ的議論を展開し、パターンの位置選択に二項係数を応用する。
• 再帰式が成立するためには、部分列同士のペア間での外部パターン出現が存在しないことを確認する必要がある。
• 例として、写像 $\phi_w: 1\to123, 2\to13, 3\to2$ を用い、12、123、21などのパターンに対して明示的な公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己相似系列の有限近似における一般化パターンの出現回数をどのように数え上げることができるか？
• RQ2 自己相似系列におけるパターン出現回数が再帰関係によって数え上げ可能となる条件は何か？
• RQ3 非反復的系列を生成する古典的写像（1→123、2→13、3→2）において、n回目の反復における1-2パターンの正確な出現回数は何か？
• RQ4 外部出現が数え上げを複雑にする場合でも、123 や 21 といったパターンに対して本手法を適用可能か？
• RQ5 部分列構造および写像パラメータ（例：$d$, $\ell$）が、パターン出現回数の増加率に果たす役割は何か？

主な発見

• 写像 $\phi_w$ のn回目の反復における1-2パターンの出現回数は $3 \cdot 4^{n-1} + 2^n$ である。
• パターン12（上昇）の出現回数は、$n \geq 2$ のとき $\phi_w^n(1)$ で $3 \cdot 2^{n-2}$、$n=1$ のときは2回。
• $\phi_w^n(1)$ における123パターンの出現回数は、$n \geq 2$ のとき $2^{n-2}$、$n=1$ のときは0。
• $\phi_w^n(1)$ における21パターン（下降）の出現回数は、$3 \cdot 2^{n-2} - 1$ であり、全長から上昇数と1を引いたものとして導出された。
• パターン $1\mbox{-}1\mbox{-}1\mbox{-}1$ の出現回数は、$n \geq 3$ のとき $3 \cdot \binom{2^{n-1}}{4}$、$n=1,2$ のときは0。
• 外部出現がない一般化パターン（内部ダッシュなし）に対して本手法が適用可能であり、写像像内の内部パターン出現回数の総和に基づく再帰式が得られる。