[論文レビュー] Covariant formulation of Generalised Uncertainty Principle

Raghvendra Singh, Dawood Kothawala|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2021

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、測地的に凸な時空近傍における正規座標を用いて位置演算子と運動量演算子を定義することで、一般化不確定性原理（GUP）の共変的定式化を提示する。4次元のロバチェフスキー空間の拡張に基づく運動量空間幾何を導入し、その結果、曲がった運動量空間における $p^2 = \text{const}$ 表面の外在的曲率から、位置演算子の非可換性 $[\hat{x}^i, \hat{x}^j] \neq 0$ が自然に生じることが示される。GUP補正 $\Theta^i{}_j(\hat{p}_k)$ は、この幾何構造によって完全に決定される。

ABSTRACT

We present a formulation of the generalised uncertainty principle based on commutator $\left[ {\hat x}^i, {\hat p}_j ight]$ between position and momentum operators defined in a covariant manner using normal coordinates. We show how any such commutator can acquire corrections if the momentum space is curved. The correction is completely determined by the extrinsic curvature of the surface $p^2=$ constant in the momentum space, and results in non-commutativity of normal position coordinates $\left[ {\hat x}^i, {\hat x}^j ight] eq 0$. We then provide a construction for the momentum space geometry as a suitable four dimensional extension of a geometry conformal to the three dimensional relativistic velocity space - the Lobachevsky space - whose curvature is determined by the dispersion relation $F(p^2)=-m^2$, with $F(x)=x$ yielding the standard Heisenberg algebra.

研究の動機と目的

• 曲がった時空におけるハイゼンベルク代数の明示的共変的定式化を構築し、標準的な交換関係定義における一般相対性の破綻を回避する。
• 相対論的速度空間からの4次元運動量空間構造を用いて、GUP補正 $\Theta^i{}_j(\hat{p}_k)$ の幾何的動機づけを提供する。
• 位置演算子の非可換性 $[\hat{x}^i, \hat{x}^j] \neq 0$ が、運動量空間における $p^2 = \text{const}$ 超曲面の外在的曲率から生じることを示す。
• 運動量空間の幾何的構成を通じて、修正された分散関係 $F(p^2) = -m^2$ を組み込んだ一貫性がありローレンツ不変なGUPフレームワークを確立する。

提案手法

• 時空点 $\mathcal{P}_0$ からの指数写像によって定義される正規座標の使用により、時空曲率に共変的に依存する。
• 相対論的速度空間上のロバチェフスキー空間の4次元拡張に類する、運動量空間計量をロバチェフスキー計量に等長にした構成。曲率は分散関係 $F(p^2) = -m^2$ によって決定される。
• 零相対速度において $ (\Delta m)^2 = (m_2 - m_1)^2 $ に還元されるように、運動量空間幾何を拡張する。
• GUP補正 $\Theta^i{}_j(\hat{p}_k)$ を、運動量空間における $p^2 = \text{const}$ 超曲面の外在的曲率 $K^{\textsf{a}}{}_{\textsf{b}}$ の関数として導出する。
• ヤコビ恒等式の適用により、非ゼロの交換関係 $[\hat{x}^i, \hat{x}^j]$ を導出し、これが $\Theta^{-1}$ 及びその微分に依存することを示す。
• 計量行列式および接続係数を用いて、ユニタリティを保つ対称的運動量空間表現 $\hat{x}^a_{\text{sym}}$ を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 座標系への明示的依存を避けるために、曲がった時空におけるハイゼンベルク代数をどのように明示的共変的に一般化できるか？
• RQ2 相対論的かつ曲がった運動量空間におけるGUP補正 $\Theta^i{}_j(\hat{p}_k)$ の幾何的起源は何か？
• RQ3 位置演算子の非可換性 $[\hat{x}^i, \hat{x}^j] \neq 0$ は、運動量空間幾何からどのように生じるか？
• RQ4 $p^2 = \text{const}$ 超曲面の外在的曲率がGUPの構造をどのように決定するか？
• RQ5 曲がった運動量空間において、一貫性があり対称的な位置演算子の運動量空間表現をどのように構成できるか？

主な発見

• GUP補正 $\Theta^i{}_j(\hat{p}_k)$ は、運動量空間における $p^2 = \text{const}$ 超曲面の外在的曲率によって完全に決定され、修正の幾何的起源を提供する。
• 標準的分散関係 $F(p^2) = -m^2$ の場合、運動量空間は平坦（リーマンテンソルが消える）であり、$\Theta^i{}_j = \delta^i_j$ となる。これにより、標準的ハイゼンベルク代数が回復される。
• 分散関係が $F(p^2) = -m^2$ に一般化され $F \neq \text{id}$ の場合、運動量空間の曲率が非ゼロとなり、非自明な $\Theta^i{}_j(\hat{p}_k)$ と非可換な位置演算子が生じる。
• 交換関係 $[\hat{x}^i, \hat{x}^j]$ は $i\hbar \{ \hat{x}^l, (\Theta^{-1})^m{}_l \Theta_n^{[a]} \Theta_m^{b],n} \}$ として導出され、逆計量および $\Theta$ の微分に明示的な依存性を持つことが示される。
• 運動量空間における位置演算子の表現は $\hat{x}^a_{\text{sym}} = i\hbar \left( \frac{1}{2} \Theta^{m a} \Gamma^i{}_{m i} + \frac{1}{2} \Theta_m^{a, m} + \Theta_m^a \partial^m \right)$ として構成され、測度 $d^4\textsf{p} \sqrt{-g}$ に対して対称性を保つ。
• 形式的構成は、位置空間および運動量空間の両方における基点に依存するため非局所的であり、運動量空間における原点の選択は、時空点からの測地線フローに依存し、位置に依存する。